《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

1. 下列选项中不一定相似的两个三角形是（ ）
A. 两个全等三角形
B. 两个等边三角形
C. 两个等腰直角三角形
D. 两个等腰三角形

答案： D
解析：全等三角形一定相似；等边三角形各角都是 60°，各边成比例，一定相似；等腰直角三角形各角对应相等，一定相似；等腰三角形顶角不一定相等，所以不一定相似，故选 D。

2. 如图，在△ABC 中，点 D 为 AC 边上一点，则下列条件一定能得到一对相似三角形的是（ ）
A. ∠DBC=∠C
B. AD·AC=BD²
C. ∠ABD=∠C
D. AD·AB=AC·BC

答案： C
解析：A 选项，∠DBC=∠C，只能得到△BDC 是等腰三角形，无法判定相似；B 选项，AD·AC=BD²，不是对应边成比例，无法判定；C 选项，∠ABD=∠C，∠A 公共，所以△ABD∽△ACB，正确；D 选项，AD·AB=AC·BC，比例线段不对应，无法判定，故选 C。

3. 如图，在△ABC 中，AC=8 cm，BC=6 cm，EC=5 cm，且 DE//BC，则 DE=______cm。

答案： $\frac{4}{3}$
解析：因为 DE//BC，所以△ADE∽△ACB，$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，AE=AC - EC=8 - 5=3 cm，$\frac{3}{8}=\frac{DE}{6}$，DE=$\frac{18}{8}=\frac{9}{4}$cm。（注：原解析可能有误，重新计算：AE=AC - EC=8 - 5=3，$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，即$\frac{DE}{6}=\frac{3}{8}$，DE=$\frac{18}{8}=\frac{9}{4}$，答案应为$\frac{9}{4}$）

4. 如图，∠BAC=90°，AD 是斜边 BC 上的高，AC=6，CD=4，则 BD=______。

答案： 5
解析：由射影定理得$AC^{2}=CD\cdot BC$，$6^{2}=4\cdot BC$，BC=9，BD=BC - CD=9 - 4=5。

5. 如图，在△ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 上的点，连接 DE，且∠ADE=∠ACB。
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）若 AD=2DB，AE=4，AC=9，求 BD 的长。

答案： （1）证明：因为∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，所以△ADE∽△ACB。
（2）解：设 BD=x，则 AD=2x，AB=AD + DB=3x。因为△ADE∽△ACB，所以$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，即$\frac{2x}{9}=\frac{4}{3x}$，$6x^{2}=36$，$x^{2}=6$，x=$\sqrt{6}$，所以 BD=$\sqrt{6}$。

6. 如图，△ABC 是等边三角形，点 D，E 分别在边 BC，AB 上，∠ADE=60°。
（1）求证：△ADC∽△DEB；
（2）若 BD=3DC，DE=3，则 AD 的长。

答案： （1）证明：因为△ABC 是等边三角形，所以∠B=∠C=60°，∠BAD + ∠ADB=120°。因为∠ADE=60°，所以∠ADB + ∠EDB=120°，所以∠BAD=∠EDB，所以△ADC∽△DEB。
（2）解：设 DC=x，则 BD=3x，BC=4x，AC=BC=4x。因为△ADC∽△DEB，所以$\frac{AD}{DE}=\frac{AC}{BD}$，$\frac{AD}{3}=\frac{4x}{3x}$，AD=4。