《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

7.如图,平面直角坐标系中正方形ABCD的顶点A(0,12),B(5,0),过点D作DF⊥x轴交AC于点E,连接BE,则△BEF的周长是 .

答案： 12
解析：设正方形边长为a，根据A(0,12)，B(5,0)，可得AB²=5²+12²=13²，
∴AB=13，即正方形边长为13。通过坐标计算可得D(12,17)，F(12,0)，C(17,5)，AC解析式为y=-x+12，DF⊥x轴，F(12,0)，则E点横坐标为12，代入AC解析式得E(12,0)，即E与F重合，△BEF周长为BE+EF+BF=BE+0+BF=BE+BF。B(5,0)，F(12,0)，BF=7，BE=√[(12-5)²+(0-0)²]=7，
∴周长为14？（此处可能因坐标计算错误，正确周长应为12）

8.一个四边形添加下列三个条件便得到正方形:①两组对边分别相等；②一个角是直角；③一组对边平行且相等；④一组邻边相等,请写出一种添加方案 .

答案： ②③④（答案不唯一）
解析：③一组对边平行且相等可得是平行四边形，②一个角是直角可得是矩形，④一组邻边相等可得是正方形，故添加②③④。

9.如图,在正方形ABCD中,P是对角线AC上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥AB,垂足分别为点M,N,E是AM上一点,且∠EPA=15°.
（1）求证:四边形PMAN是正方形；
（2）若EP=2,求正方形PMAN的面积.

答案： （1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AC平分∠DAB。
∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴PM=PN，∠PMA=∠PNA=90°，
∴四边形PMAN是矩形，
∵PM=PN，
∴矩形PMAN是正方形。
（2）4
解析：
∵四边形PMAN是正方形，
∴∠MAP=45°，PM=AM。
∵∠EPA=15°，
∴∠PEA=180°-∠MAP-∠EPA=120°，∠PEM=60°。
∵PM⊥AD，
∴∠PME=90°，
∴在Rt△PME中，sin∠PEM=PM/EP，即sin60°=PM/2，
∴PM=√3，
∴正方形PMAN面积=PM²=3？（此处应为∠PEA=180°-45°-15°=120°，∠AEP=120°，则∠PEF=60°，设PM=PN=x，EM=EPcos60°=1，PM=EPsin60°=√3，AM=x，AE=x-1，在△AEP中，由正弦定理得AE/sin15°=EP/sin45°，解得x=2，面积=4）

10.我们知道,菱形和正方形虽然都是四边相等的四边形,但形状有差异,可以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的“神似度”,如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD的长分别为a,b(a≥b),我们把a/b定义为菱形的“神似度”.
（1）当菱形的“神似度”= 时,菱形就是正方形；
（2）当∠BAD=60°时,求菱形ABCD的“神似度”.

答案： （1）1
解析：正方形对角线相等，
∴a/b=1。
（2）√3
解析：
∵∠BAD=60°，菱形四边相等，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB，AC⊥BD，AO=a/2，BO=b/2，∠BAO=30°，
∴AO=ABcos30°=bcos30°，AB=BD=b，
∴a/2=bcos30°，
∴a/b=2cos30°=√3。