《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

1.某厂今年10月的总产量为350 t，12月的总产量达到500 t。若平均每月增长率是x，则可以列出方程为（ ）
A.$350(1+x)=500$
B.$350(1+x)^{2}=500$
C.$350(1+x^{2})=500$
D.$500(1+x)^{2}=350$

答案： B
10月到12月经过两个月，每月增长率为x，11月产量为$350(1 + x)$，12月产量为$350(1 + x)^{2}$，所以方程为$350(1 + x)^{2}=500$。

2.某超市1月份的营业额为36万元，3月份的营业额为48万元。若设从1月份到3月份平均每月的增长率为x，则可列方程为________。

答案： $36(1 + x)^{2}=48$
1月份营业额36万元，2月份为$36(1 + x)$，3月份为$36(1 + x)^{2}$，所以方程为$36(1 + x)^{2}=48$。

3.如图1，在宽为20 m、长为32 m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块作为小麦试验田，假设试验田面积为$570m^{2}$，道路宽为多少？设宽为x m，从图2的思考方式出发列出的方程是________。

答案： $(32 - 2x)(20 - x)=570$
图2中道路平移后，试验田的长为$32 - 2x$，宽为$20 - x$，面积为长乘宽，即$(32 - 2x)(20 - x)=570$。

4.解下列方程：
（1）$x^{2}-4x=2x - 9$；
（2）$3x^{2}-4x - 2=0$；
（3）$(x + 1)(x - 3)=32$。

答案： （1）$x_{1}=x_{2}=3$
移项得$x^{2}-6x + 9=0$，即$(x - 3)^{2}=0$，解得$x_{1}=x_{2}=3$。
（2）$x_{1}=\frac{2+\sqrt{10}}{3}$，$x_{2}=\frac{2-\sqrt{10}}{3}$
$a = 3$，$b=-4$，$c=-2$，$\Delta=16 + 24=40$，$x=\frac{4\pm\sqrt{40}}{6}=\frac{2\pm\sqrt{10}}{3}$。
（3）$x_{1}=7$，$x_{2}=-5$
展开得$x^{2}-2x - 3=32$，即$x^{2}-2x - 35=0$，因式分解$(x - 7)(x + 5)=0$，解得$x=7$或$x=-5$。

5.已知关于x的一元二次方程$(k - 2)x^{2}+2x + 1=0$有两个实数根。
（1）求实数k的取值范围；
（2）当k取最大整数时，求方程的根。

答案： （1）$k\leq3$且$k≠2$
$\Delta=4 - 4(k - 2)\geq0$且$k - 2≠0$，解得$k\leq3$且$k≠2$。
（2）$x_{1}=x_{2}=-\frac{1}{2}$
k最大整数为3，方程为$x^{2}+2x + 1=0$，即$(x + 1)^{2}=0$，解得$x_{1}=x_{2}=-1$。