《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

1.填空：
（1）如图，把线段$AB$分成两条线段$AC$和$BC(AC＞BC)$。若点$C$是线段$AB$的黄金分割点，则有比例线段______。
（2）一条线段有______个黄金分割点。如果点$C$是线段$AB$的黄金分割点$(AC＞BC)$，那么$\frac{AC}{AB}=$______≈______（精确到$0.001$）。

答案： （1）$AC^2 = AB\cdot BC$；（2）2；$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；$0.618$

2.若点$M$将线段$AB$黄金分割$(AM＞BM)$，则下列各式中不正确的是（ ）
A.$AM:BM = AB:AM$
B.$AM=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$
C.$BM=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$
D.$AM\approx0.618AB$

答案： C
解析：$BM = AB - AM = AB-\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{3-\sqrt{5}}{2}AB$，故选C。

3.点$D$是线段$AB$的黄金分割点$(AD＞BD)$。若$AB = 2$，则$AD=$（ ）
A.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
B.$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
C.$\sqrt{5}-1$
D.$3-\sqrt{5}$

答案： C
解析：$AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×2=\sqrt{5}-1$，故选C。

4.生活中到处可见黄金分割的美。如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下$a$与全身$b$的高度比值接近$0.618$，可以增加视觉美感。若图中$b$为$2m$，则$a\approx$______$m$（保留小数点后两位）。

答案： 1.24
解析：$a = 0.618b = 0.618×2 = 1.236\approx1.24$。

5.把$\sqrt{5}cm$长的线段进行黄金分割后得两条线段，其中较长的线段的长为______$cm$。

答案： $\frac{5-\sqrt{5}}{2}$
解析：较长线段长为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}×\sqrt{5}=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$。

6.如图，已知线段$AB$，求作线段$AB$的黄金分割点$C$，且使$AC＞CB$。

答案： 作图步骤：①过$B$作$BD\perp AB$，使$BD=\frac{1}{2}AB$；②连接$AD$，在$AD$上截取$DE = DB$；③在$AB$上截取$AC = AE$，则点$C$为所求。

7.如图，在长度为$1$的线段$AB$上找到两个黄金分割点$C$，$D$，则$CD=$（ ）
A.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
B.$3-\sqrt{5}$
C.$\sqrt{5}-2$
D.$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$

答案： C
解析：$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$BD = AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$CD=AC + BD - AB=\sqrt{5}-1 - 1=\sqrt{5}-2$，故选C。