《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

7.在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出两组对边分别相等，然后乙测量出______，最后得到结论：地板瓷砖是菱形.则横线处应填（ ）
A.两组对边分别平行 B.一组邻边相等 C.两条对角线相等 D.一组邻角相等

答案： B
解析：甲测量两组对边分别相等，可判定为平行四边形。要判定为菱形，需添加一组邻边相等，所以乙应测量一组邻边相等，选B。

8.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD，P为CD上一点，连接BP，若四边形ABCD的面积为20，纸条的宽为4，DP=2，则BP的长是______.

答案： 5
解析：
∵纸条等宽，
∴四边形ABCD的面积=BC×纸条的宽=20，纸条宽为4，
∴BC=5。
∵AD//BC，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC=5。过B作BE⊥CD于E，BE=4，CE=CD-DP=5-2=3（注：此处CD=BC=5，因为等宽纸条交叉所得平行四边形邻边相等，即菱形）。在Rt△BEP中，PE=CE=3（
∵ABCD是菱形，CD=5，DP=2，
∴PC=3），BE=4，
∴BP=√(3²+4²)=5。

9.如图，在四边形ABCF中，BA=BC，连接AC，BF，且BF经过AC的中点D，点E在BD上，且DE=DF，连接AE，CE.
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AC=BD=8，且∠EBC=∠ECB，求菱形AECF的面积.

答案： （1）证明：
∵D是AC中点，
∴AD=CD.
∵DE=DF，
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
∵BA=BC，D是AC中点，
∴BF⊥AC（等腰三角形三线合一）.
∴AC⊥EF，
∴平行四边形AECF是菱形.
（2）解：
∵∠EBC=∠ECB，
∴EB=EC.
设BE=CE=x，
∵BD=8，DE=DF，AC=8，菱形AECF对角线AC=8，EF=2DE.
∵BF⊥AC，
∴在Rt△CDE中，CD=4，DE=8-x，CE=x，
∴x²=4²+(8-x)²，解得x=5.
∴DE=3，EF=6，
菱形AECF面积=1/2×AC×EF=1/2×8×6=24.

10.【教材呈现】如下是北师大版九年级上册数学课本第6页的部分内容.
如图1-4分别以点A，C为圆心，大于1/2AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，四边形ABCD看上去是菱形.
你是怎么做的？认为小刚的做法正确吗？与同伴交流.
定理 四边相等的四边形是菱形
请你完成这个定理的证明.
（1）结合教材图1-4，完成这个定理证明；
（2）应用上述定理解决实际问题
周末，小辰和妈妈买回来一盏简单而精致的吊灯，其截面如图所示，四边形ABCD是一个菱形内框架，四边形AECF是其外部框架，且点E，B，D，F在同一直线上，BE=DF.
①求证：四边形外框AECF是菱形；
②若外框AECF的周长为80 cm，EF=32 cm，BE=7 cm，直接写出AB的长.

答案： （1）证明：由作法可知AB=AD=CB=CD，
∴四边形ABCD是四边相等的四边形，
∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.
（2）①证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD.
∵BE=DF，
∴OB+BE=OD+DF，即OE=OF.
∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AC⊥EF，
∴平行四边形AECF是菱形.
②AB=15 cm
解析：
∵外框AECF周长为80 cm，
∴AE=20 cm。
∵EF=32 cm，
∴OE=16 cm。在Rt△AOE中，AO=√(AE²-OE²)=√(20²-16²)=12 cm。
∵BE=7 cm，OB=OE-BE=16-7=9 cm。在Rt△AOB中，AB=√(AO²+OB²)=√(12²+9²)=15 cm。