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6.如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 6$，$BC = 12$，点$P$是$AB$边的中点，点$Q$是$BC$边上一个动点，当$BQ=$______时，$\triangle BPQ$与$\triangle BAC$相似。
答案：
3或$\frac{9}{4}$
解析：$BP=\frac{1}{2}AB = 3$。①$\triangle BPQ\sim\triangle BAC$，$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$，$\frac{3}{6}=\frac{BQ}{12}$，$BQ = 6$；②$\triangle BPQ\sim\triangle BCA$，$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$，$\frac{3}{12}=\frac{BQ}{6}$，$BQ = 1.5$。
解析：$BP=\frac{1}{2}AB = 3$。①$\triangle BPQ\sim\triangle BAC$，$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$，$\frac{3}{6}=\frac{BQ}{12}$，$BQ = 6$；②$\triangle BPQ\sim\triangle BCA$，$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$，$\frac{3}{12}=\frac{BQ}{6}$，$BQ = 1.5$。
7.如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 5$，$AD = 2$，点$P$是$CD$边上的一个动点，则当$\triangle ADP$与$\triangle BCP$相似时，$DP=$______.
答案：
$1$或$4$或$\frac{5\pm\sqrt{5}}{2}$
解析：设$DP = x$，$PC = 5 - x$。①$\triangle ADP\sim\triangle BCP$，$\frac{AD}{BC}=\frac{DP}{PC}$，$\frac{2}{2}=\frac{x}{5 - x}$，$x=\frac{5}{2}$；②$\triangle ADP\sim\triangle PCB$，$\frac{AD}{PC}=\frac{DP}{BC}$，$\frac{2}{5 - x}=\frac{x}{2}$，$x^2 - 5x + 4 = 0$，$x = 1$或$4$。综上，$DP = 1$，$4$或$\frac{5}{2}$。
解析：设$DP = x$，$PC = 5 - x$。①$\triangle ADP\sim\triangle BCP$，$\frac{AD}{BC}=\frac{DP}{PC}$，$\frac{2}{2}=\frac{x}{5 - x}$，$x=\frac{5}{2}$；②$\triangle ADP\sim\triangle PCB$，$\frac{AD}{PC}=\frac{DP}{BC}$，$\frac{2}{5 - x}=\frac{x}{2}$，$x^2 - 5x + 4 = 0$，$x = 1$或$4$。综上，$DP = 1$，$4$或$\frac{5}{2}$。
8.如图，$BD$，$CE$是$\triangle ABC$的高，连接$DE$，求证：$\triangle ADE\sim\triangle ABC$。
答案：
证明见解析
解析：$\angle ADB=\angle AEC = 90^{\circ}$，$\angle A=\angle A$，$\triangle ADB\sim\triangle AEC$，$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。$\angle DAE=\angle BAC$，$\triangle ADE\sim\triangle ABC$。
解析：$\angle ADB=\angle AEC = 90^{\circ}$，$\angle A=\angle A$，$\triangle ADB\sim\triangle AEC$，$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。$\angle DAE=\angle BAC$，$\triangle ADE\sim\triangle ABC$。
9.如图，在正方形$ABCD$中，$BP = 3PC$，点$Q$是$CD$的中点，求证：$\triangle PQC\sim\triangle QAD\sim\triangle PAQ$。
答案：
证明见解析
解析：设正方形边长为$4a$，则$PC = a$，$CQ = DQ = 2a$，$AD = 4a$。$\frac{PC}{DQ}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$，$\frac{CQ}{AD}=\frac{2a}{4a}=\frac{1}{2}$，$\angle C=\angle D = 90^{\circ}$，$\triangle PQC\sim\triangle QAD$。$AQ = \sqrt{(4a)^2+(2a)^2}=2\sqrt{5}a$，$PQ=\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a$，$AP=\sqrt{(4a)^2+(3a)^2}=5a$。$\frac{PQ}{AQ}=\frac{\sqrt{5}a}{2\sqrt{5}a}=\frac{1}{2}$，$\frac{AQ}{AP}=\frac{2\sqrt{5}a}{5a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{PQ}{AQ}=\frac{QC}{AD}=\frac{1}{2}$，$\triangle PQC\sim\triangle QAD\sim\triangle PAQ$。
解析：设正方形边长为$4a$，则$PC = a$，$CQ = DQ = 2a$，$AD = 4a$。$\frac{PC}{DQ}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$，$\frac{CQ}{AD}=\frac{2a}{4a}=\frac{1}{2}$，$\angle C=\angle D = 90^{\circ}$，$\triangle PQC\sim\triangle QAD$。$AQ = \sqrt{(4a)^2+(2a)^2}=2\sqrt{5}a$，$PQ=\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a$，$AP=\sqrt{(4a)^2+(3a)^2}=5a$。$\frac{PQ}{AQ}=\frac{\sqrt{5}a}{2\sqrt{5}a}=\frac{1}{2}$，$\frac{AQ}{AP}=\frac{2\sqrt{5}a}{5a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{PQ}{AQ}=\frac{QC}{AD}=\frac{1}{2}$，$\triangle PQC\sim\triangle QAD\sim\triangle PAQ$。
10.如图，在$\triangle ABC$中，$BA = BC = 20cm$，$AC = 30cm$，点$P$从点$A$出发，沿$AB$以$4cm/s$的速度向点$B$运动，同时点$Q$从点$C$出发，沿$CA$以$3cm/s$的速度向点$A$运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为$x s$。
（1）当$PQ// BC$时，求$x$的值；
（2）$\triangle APQ$与$\triangle CQB$能否相似？若能，求出$AP$的长；若不能，请说明理由。
（1）当$PQ// BC$时，求$x$的值；
（2）$\triangle APQ$与$\triangle CQB$能否相似？若能，求出$AP$的长；若不能，请说明理由。
答案：
（1）$x=\frac{10}{3}$；（2）能，$AP = \frac{40}{9}cm$或$AP = 10cm$
解析：（1）$AP = 4x$，$CQ = 3x$，$AQ = 30 - 3x$。$PQ// BC$，$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$，$\frac{4x}{20}=\frac{30 - 3x}{30}$，$120x = 600 - 60x$，$180x = 600$，$x=\frac{10}{3}$。
（2）$BA = BC$，$\angle A=\angle C$。①$\frac{AP}{CQ}=\frac{AQ}{CB}$，$\frac{4x}{3x}=\frac{30 - 3x}{20}$，$\frac{4}{3}=\frac{30 - 3x}{20}$，$80 = 90 - 9x$，$x=\frac{10}{9}$，$AP = 4x=\frac{40}{9}$；②$\frac{AP}{CB}=\frac{AQ}{CQ}$，$\frac{4x}{20}=\frac{30 - 3x}{3x}$，$12x^2 = 600 - 60x$，$x^2 + 5x - 50 = 0$，$x = 5$或$x=-10$（舍），$AP = 20$（此时$P$到达$B$，$Q$未到终点），$AP = 20cm$。
解析：（1）$AP = 4x$，$CQ = 3x$，$AQ = 30 - 3x$。$PQ// BC$，$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$，$\frac{4x}{20}=\frac{30 - 3x}{30}$，$120x = 600 - 60x$，$180x = 600$，$x=\frac{10}{3}$。
（2）$BA = BC$，$\angle A=\angle C$。①$\frac{AP}{CQ}=\frac{AQ}{CB}$，$\frac{4x}{3x}=\frac{30 - 3x}{20}$，$\frac{4}{3}=\frac{30 - 3x}{20}$，$80 = 90 - 9x$，$x=\frac{10}{9}$，$AP = 4x=\frac{40}{9}$；②$\frac{AP}{CB}=\frac{AQ}{CQ}$，$\frac{4x}{20}=\frac{30 - 3x}{3x}$，$12x^2 = 600 - 60x$，$x^2 + 5x - 50 = 0$，$x = 5$或$x=-10$（舍），$AP = 20$（此时$P$到达$B$，$Q$未到终点），$AP = 20cm$。
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