《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

7.如图，在矩形ABCD中，∠ACD=30°，边AD=2√3，DM⊥AC，垂足为点M，连接BM，则图中阴影部分的面积是______.

答案： 3√3
解析：在矩形ABCD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=2√3，
∴CD=AD/tan30°=6，AC=2AD=4√3，DM=AD×CD/AC=3。
∵DM⊥AC，
∴AM=√(AD²-DM²)=√(12-9)=√3，MC=AC-AM=3√3。过B作BN⊥AC于N，同理BN=3，AN=√3，MN=AC-AM-CN=4√3-√3-√3=2√3。阴影部分面积=S△ABM+S△CDM=1/2×AM×BN+1/2×MC×DM=1/2×√3×3+1/2×3√3×3=3√3/2+9√3/2=6√3/2=3√3。

8.定义：在平面直角坐标系xOy中，若矩形ABCD的对角线AC与x轴平行，且对角线BD在直线y=kx(x＜0)上，则称矩形ABCD为“k率矩形”。如图，矩形ABCD为“-1率矩形”，点A(m，m/2 -1)，且直线y=-3x-2平分矩形的面积，则点C坐标为______.

答案： (-2，-2)
解析：
∵矩形ABCD为“-1率矩形”，
∴BD在直线y=-x上，AC与x轴平行，
∴A、C纵坐标相同，设C(n，m/2 -1)。
∵矩形对角线互相平分，
∴AC中点与BD中点重合，且在直线y=-3x-2上。AC中点坐标((m+n)/2，m/2 -1)，代入直线得m/2 -1=-3×(m+n)/2 -2，化简得m/2 -1=-3m/2 -3n/2 -2，移项得2m +3n/2 =-1，即4m +3n =-2。又
∵BD在y=-x上，设B(p，-p)，D(q，-q)，BD中点((p+q)/2，-(p+q)/2)，与AC中点相同，
∴(m+n)/2=(p+q)/2，m/2 -1=-(p+q)/2，
∴m/2 -1=-(m+n)/2，化简得m -2=-m -n，即2m +n=2。联立4m +3n=-2和2m +n=2，解得m=2，n=-2，
∴C(-2，-2)。

9.如图，直线经过矩形ABCD的对角线BD的中点O，分别与矩形的两边相交于点E，F.
（1）求证：OE=OF；
（2）若BD⊥EF，AD=6，BD=3√5，求△BDE的面积.

答案： （1）证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠EDO=∠FBO，∠DEO=∠BFO.
∵O是BD中点，
∴OD=OB，
∴△DOE≌△BOF（AAS），
∴OE=OF.
（2）解：
∵AD=6，BD=3√5，
∴AB=√(BD²-AD²)=√(45-36)=3。
设DE=x，则BE=√(DE²+BD² - 2×DE×BD×cos∠EDB)（注：用勾股定理，设AE=y，DE=6-y，在Rt△ABE中，AB²+AE²=BE²，BE=BF，EF=2OE，BD⊥EF，OB=3√5/2，OE=√(BE² - OB²)，较复杂，用面积法。S矩形ABCD=AB×AD=18，S△ABD=9。
∵O是BD中点，S△BOE=S△DOE，S△BOF=S△DOF，
∴S四边形BEDF=2S△BDE。
∵EF过O，
∴S四边形BEDF=1/2 S矩形ABCD=9，
∴S△BDE=9/2=4.5。

10.如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE//BF.
（1）下列条件：
①点E是CD的中点；
②BE平分∠ABF；
③点A与点F关于直线BE对称.
请从中选择一个能证明四边形ABFE是菱形的条件，并写出证明过程；
（2）若∠BEF=∠DAE，AE=3，BE=4，求EF的长.

答案： （1）选②BE平分∠ABF.
证明：
∵AE//BF，
∴∠AEB=∠EBF.
∵BE平分∠ABF，
∴∠ABE=∠EBF，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，即AB//EF.
∵AE//BF，
∴四边形ABFE是平行四边形.
∵AB=AE，
∴平行四边形ABFE是菱形.
（2）解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∴∠DAE+∠AED=90°.
∵∠BEF=∠DAE，∠AED=∠BEF，
∴∠BEF+∠AED=90°，
∴∠AEB=90°.
在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，
∴AB=5.
∵四边形ABFE是菱形（由（1）可证），
∴EF=AB=5.