《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

1. 的矩形是正方形； 的菱形是正方形； 的平行四边形是正方形；对角线互相垂直的 是正方形；对角线相等的 是正方形.

答案： 有一组邻边相等；有一个角是直角；有一组邻边相等且有一个角是直角；矩形；菱形

2.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.添加下列一个条件,能使矩形ABCD成为正方形的是（ ）
A.BD=AB B.DC=AD C.∠ABC=90° D.OD=OC

答案： B
解析：矩形ABCD中，∠ABC=90°，OD=OC，故C、D选项不符合题意；BD=AB无法判定其为正方形，故A选项不符合题意；DC=AD，即邻边相等的矩形是正方形，故B选项符合题意。

3.已知四边形ABCD为菱形.下列条件中,不能判定这个菱形为正方形的是（ ）
A.∠A=∠B B.∠A=∠C C.AC=BD D.AB⊥BC

答案： B
解析：菱形ABCD中，∠A=∠C（平行四边形对角相等），无法判定其为正方形，故B选项符合题意；∠A=∠B，∠A+∠B=180°，则∠A=90°，有一个角是直角的菱形是正方形，故A选项不符合题意；AC=BD，对角线相等的菱形是正方形，故C选项不符合题意；AB⊥BC，即∠B=90°，有一个角是直角的菱形是正方形，故D选项不符合题意。

4.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD交于点O.
（1）当AB=BC时,它是 ；
（2）当AC=BD时,它是 ；
（3）当∠ABC=90°时,它是 ；
（4）当OA=OB,且OA⊥OB时,它是 ；
（5）当AB=BC,且AC=BD时,它是 .

答案： （1）菱形；（2）矩形；（3）矩形；（4）正方形；（5）正方形

5.在□ABCD中,已知AC,BD为对角线.现有以下四个条件:①∠ABC=90°；②AC=BD；③AC⊥BD；④AB=BC.从中选取两个条件,可以判定□ABCD为正方形的是 .(写出一组即可)

答案： ①④（答案不唯一）
解析：①∠ABC=90°可得平行四边形ABCD是矩形，④AB=BC可得矩形ABCD是正方形，故①④可以判定。

6.如图,在矩形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,EF⊥AD于点F,DG⊥AE于点G,DG与EF交于点O.
（1）求证:四边形ABEF是正方形；
（2）若AD=AE,求证:AB=AG；
（3）在（2）的条件下,已知AB=1,求OF的长.

答案： （1）证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=90°，AD//BC。
∵EF⊥AD，
∴∠AFE=90°，
∴四边形ABEF是矩形。
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，
∴矩形ABEF是正方形。
（2）证明：
∵AD=AE，∠DAE=45°，
∴∠ADE=∠AED=（180°-45°）/2=67.5°。
∵DG⊥AE，
∴∠AGD=90°，
∴∠ADG=90°-45°=45°，
∴∠EDG=∠ADE-∠ADG=67.5°-45°=22.5°。
∵∠AED=67.5°，
∴∠DGE=90°，∠DEG=67.5°，
∴∠EDG=22.5°，
∴EG=DG。
∵四边形ABEF是正方形，AB=1，
∴AF=EF=1，AE=√2。
∵AD=AE=√2，
∴DF=AD-AF=√2-1。
∵EF⊥AD，DG⊥AE，
∴∠EFO=∠DGO=90°，∠EOF=∠DOG，
∴△EFO∽△DGO，
∴OF/OG=EF/DG=EF/EG。设AG=x，则EG=AE-AG=√2-x，DG=EG=√2-x。在Rt△ADG中，AG²+DG²=AD²，即x²+（√2-x）²=（√2）²，解得x=（2±√2）/2，
∵x＜√2，
∴x=（2-√2）/2，
∴AB=1=AG+GB，GB=1-（2-√2）/2=√2/2，
∴AB=AG。
（3）OF=√2-1
解析：由（2）知DF=√2-1，EF=1，
∵EF⊥AD，
∴△DFO是等腰直角三角形，
∴OF=DF=√2-1。