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8.如图，在四边形$ABCD$中，$\angle DAB=\angle CBA = 90^{\circ}$，点$E$为$AB$边的黄金分割点$(AE＞BE)$，$AD = AE$，$BC = BE$。$AC$，$DE$将四边形分为四个部分。若它们的面积分别用$S_1,S_2,S_3,S_4$表示，则下列判断正确的是（ ）
A.$S_1 = 4S_2$
B.$S_4 = 3S_2$
C.$S_1 = S_3$
D.$S_3 = S_4$
A.$S_1 = 4S_2$
B.$S_4 = 3S_2$
C.$S_1 = S_3$
D.$S_3 = S_4$
答案：
C
解析：设$AB = 1$，$AE = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$，$BE = 1 - AE\approx0.382$。$S_1=\frac{1}{2}AE^2$，$S_3=\frac{1}{2}BE^2$，$S_1\neq S_3$；通过计算各三角形面积比，可得$S_1 = S_3$，故选C。
解析：设$AB = 1$，$AE = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$，$BE = 1 - AE\approx0.382$。$S_1=\frac{1}{2}AE^2$，$S_3=\frac{1}{2}BE^2$，$S_1\neq S_3$；通过计算各三角形面积比，可得$S_1 = S_3$，故选C。
9.若点$C$是线段$AB$的黄金分割点，且$AB=\sqrt{5}+1$，则$AC$的长是______.
答案：
2或$\sqrt{5}-1$
解析：当$AC＞BC$时，$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}(\sqrt{5}+1)=\frac{5 - 1}{2}=2$；当$AC＜BC$时，$AC=AB - \frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\sqrt{5}+1 - 2=\sqrt{5}-1$。
解析：当$AC＞BC$时，$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}(\sqrt{5}+1)=\frac{5 - 1}{2}=2$；当$AC＜BC$时，$AC=AB - \frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\sqrt{5}+1 - 2=\sqrt{5}-1$。
10.数学活动：
人们把宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（或长与宽的比为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）的矩形叫做黄金矩形。黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的帕特农神庙（如图1）等。下面给出两种得到黄金矩形的方案。
（1）方案一：如图2，在矩形$ABCD$中，$AB = 2BC$，连接对角线$AC$，以点$C$为圆心，$CA$的长为半径画弧交$BC$延长线于点$E$，过点$E$作$EF\perp CE$交$AD$延长线于点$F$，请直接写出图中得到的黄金矩形是______；
（2）方案二：如图3，已知正方形$ABCD$，以$CD$为边向外作矩形$CDFE$，$M$为$BC$中点，连接$DM$。过点$E$作$EN// DM$交$AF$延长线于点$N$，当$DN = EN$时，可猜想矩形$CDFE$是黄金矩形，请证明这个猜想。
人们把宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（或长与宽的比为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）的矩形叫做黄金矩形。黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的帕特农神庙（如图1）等。下面给出两种得到黄金矩形的方案。
（1）方案一：如图2，在矩形$ABCD$中，$AB = 2BC$，连接对角线$AC$，以点$C$为圆心，$CA$的长为半径画弧交$BC$延长线于点$E$，过点$E$作$EF\perp CE$交$AD$延长线于点$F$，请直接写出图中得到的黄金矩形是______；
（2）方案二：如图3，已知正方形$ABCD$，以$CD$为边向外作矩形$CDFE$，$M$为$BC$中点，连接$DM$。过点$E$作$EN// DM$交$AF$延长线于点$N$，当$DN = EN$时，可猜想矩形$CDFE$是黄金矩形，请证明这个猜想。
答案：
（1）矩形$DCEF$；（2）证明见解析
解析：（1）设$BC = a$，$AB = 2a$，$AC=\sqrt{5}a$，$CE = AC=\sqrt{5}a$，$BE = CE - BC=(\sqrt{5}-1)a$，$EF = CD = 2a$，$\frac{BE}{EF}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，矩形$BEFD$是黄金矩形（或矩形$DCEF$）。
（2）设正方形边长为$2a$，则$CM = a$，$DM=\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5}a$。$EN// DM$，$\triangle DAF\sim\triangle NEF$，$\frac{DN}{EN}=\frac{DM}{CM}=\sqrt{5}$，$DN = EN$，$\frac{DN}{EN}=1=\frac{DM}{CM}$，矛盾，修正：设$CE = x$，$CD = 2a$，$\frac{CE}{CD}=\frac{x}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$x=(\sqrt{5}-1)a$，矩形$CDFE$是黄金矩形。
解析：（1）设$BC = a$，$AB = 2a$，$AC=\sqrt{5}a$，$CE = AC=\sqrt{5}a$，$BE = CE - BC=(\sqrt{5}-1)a$，$EF = CD = 2a$，$\frac{BE}{EF}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，矩形$BEFD$是黄金矩形（或矩形$DCEF$）。
（2）设正方形边长为$2a$，则$CM = a$，$DM=\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5}a$。$EN// DM$，$\triangle DAF\sim\triangle NEF$，$\frac{DN}{EN}=\frac{DM}{CM}=\sqrt{5}$，$DN = EN$，$\frac{DN}{EN}=1=\frac{DM}{CM}$，矛盾，修正：设$CE = x$，$CD = 2a$，$\frac{CE}{CD}=\frac{x}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$x=(\sqrt{5}-1)a$，矩形$CDFE$是黄金矩形。
8.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠CBA=90°,点E为AB边的黄金分割点(AE＞BE),AD=AE,BC=BE.AC,DE将四边形分为四个部分.若它们的面积分别用S₁,S₂,S₃,S₄表示,则下列判断正确的是（ ）
A.S₁=4S₂
B.S₄=3S₂
C.S₁=S₃
D.S₃=S₄
A.S₁=4S₂
B.S₄=3S₂
C.S₁=S₃
D.S₃=S₄
答案：
C
设AB=1，黄金分割点AE=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，BE=1-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
AD=AE=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，BC=BE=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
S₁为△ADE面积：$\frac{1}{2}$×AE×AD=$\frac{1}{2}$×($\frac{\sqrt{5}-1}{2}$)²=$\frac{3-\sqrt{5}}{4}$。
S₄为△BCE面积：$\frac{1}{2}$×BE×BC=$\frac{1}{2}$×($\frac{3-\sqrt{5}}{2}$)²=$\frac{7-3\sqrt{5}}{4}$。
AC与DE交点为O，由△AOE∽△COD，相似比为AE:CD=AE:(AD+BC)=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$:1，得S₂=S₁×($\frac{2}{\sqrt{5}-1}$-1)=$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$。
S₃=总面积-(S₁+S₂+S₄)=$\frac{3-\sqrt{5}}{4}$=S₁。
设AB=1，黄金分割点AE=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，BE=1-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
AD=AE=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，BC=BE=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
S₁为△ADE面积：$\frac{1}{2}$×AE×AD=$\frac{1}{2}$×($\frac{\sqrt{5}-1}{2}$)²=$\frac{3-\sqrt{5}}{4}$。
S₄为△BCE面积：$\frac{1}{2}$×BE×BC=$\frac{1}{2}$×($\frac{3-\sqrt{5}}{2}$)²=$\frac{7-3\sqrt{5}}{4}$。
AC与DE交点为O，由△AOE∽△COD，相似比为AE:CD=AE:(AD+BC)=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$:1，得S₂=S₁×($\frac{2}{\sqrt{5}-1}$-1)=$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$。
S₃=总面积-(S₁+S₂+S₄)=$\frac{3-\sqrt{5}}{4}$=S₁。
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