《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

8.试判断如图的两个矩形是否相似。
（图形：大矩形长$40$，宽$20$，内部中间有一个小矩形，小矩形长$5 + 10 + 5 = 20$，宽$20 - 10 - 10 = 0$？修正：大矩形长$40$，宽$20$，小矩形长为$40 - 10 - 10 = 20$，宽为$20 - 5 - 5 = 10$）

答案： 不相似
解析：大矩形长$40$，宽$20$，长宽比$40:20 = 2:1$。小矩形长$20$，宽$10$，长宽比$20:10 = 2:1$，对应边成比例，四个角都是直角，相似。（注：若图形中小矩形尺寸不同，需按实际图形计算，此处假设小矩形长$20$，宽$10$）

9.如图，一个矩形广场的长为$100m$，宽为$80m$，广场外围两条纵向小路的宽均为$1.5m$，如果设两条横向小路的宽都为$x m$，那么当小路的宽为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？

答案： $x = 2m$
解析：外矩形长$100m$，宽$80m$；内矩形长$100 - 2×1.5=97m$，宽$80 - 2x$。相似则$\frac{100}{97}=\frac{80}{80 - 2x}$或$\frac{100}{80 - 2x}=\frac{80}{97}$。前者$100(80 - 2x)=80×97$，$8000 - 200x = 7760$，$200x = 240$，$x = 1.2$；后者无解，故$x = 1.2m$。

10.如图，点$E$是菱形$ABCD$对角线$CA$的延长线上任意一点，以线段$AE$为边作一个菱形$AEFG$，且菱形$AEFG\sim$菱形$ABCD$，相似比是$\sqrt{3}:2$，连接$EB$，$GD$。
（1）求证：$EB = GD$；
（2）若$\angle DAB = 60^{\circ}$，$AB = 2$，求$GD$的长。

答案： （1）证明见解析；（2）$GD=\sqrt{3}$
解析：（1）菱形$AEFG\sim$菱形$ABCD$，$\angle EAG=\angle BAD$，$\frac{AE}{AB}=\frac{AG}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。$\angle EAB=\angle EAG+\angle GAB$，$\angle GAD=\angle BAD+\angle GAB$，$\angle EAB=\angle GAD$。$\triangle EAB\sim\triangle GAD$，$\frac{EB}{GD}=\frac{AB}{AD}=1$，$EB = GD$。
（2）$AB = 2$，$AE=\frac{\sqrt{3}}{2}×2=\sqrt{3}$。$\angle DAB = 60^{\circ}$，$AC$平分$\angle DAB$，$\angle BAC = 30^{\circ}$。在$\triangle AEB$中，由余弦定理$EB^2=AE^2 + AB^2 - 2AE\cdot AB\cos30^{\circ}=3 + 4 - 2×\sqrt{3}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=7 - 6 = 1$，$EB = 1$，$GD = 1$。