《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

9.下列方程中，两根分别为2和3的方程是（ ）
A.$x^{2}-x - 6=0$
B.$x^{2}-5x - 6=0$
C.$x^{2}+x + 6=0$
D.$x^{2}-5x + 6=0$

答案： D
两根为2和3，方程为$(x - 2)(x - 3)=x^{2}-5x + 6=0$。

10.若实数a，b分别满足$a^{2}-6a + 4=0$，$b^{2}-6b + 4=0$，且$a≠b$，则$a + b$的值为（ ）
A.6
B.4
C.-6
D.-4

答案： A
a，b是方程$x^{2}-6x + 4=0$的两根，$a + b=6$。

11.若$x_{1},x_{2}$是方程$2x^{2}-6x + 3=0$的两个根，则$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$的值为（ ）
A.2
B.-2
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{9}{2}$

答案： A
$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{3}{\frac{3}{2}}=2$。

12.已知关于x的方程$x^{2}+(m - 2)x - 2m=0$。若该方程的两个根分别是$x_{1},x_{2}$，且$x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}=8$，则$m=$_________$$。

答案： -6
$x_{1}+x_{2}=2 - m$，$x_{1}x_{2}=-2m$，$2 - m - 2m=8$，解得$m=-2$。

13.关于x的一元二次方程$x^{2}-(2k - 1)x + k^{2}=0$有两个不等实根$x_{1},x_{2}$。
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实根$x_{1},x_{2}$满足$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}\leq k^{2}+7$，且k为整数，求实数k的值。

答案： （1）$k＜\frac{1}{4}$
$\Delta=(2k - 1)^{2}-4k^{2}=1 - 4k＞0$，解得$k＜\frac{1}{4}$。
（2）k=0
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=(2k - 1)^{2}-3k^{2}=k^{2}-4k + 1\leq k^{2}+7$，解得$k\geq-1.5$，整数k为-1，0，又$k＜\frac{1}{4}$，所以k=0或-1，经检验k=0。

14.新定义：如果关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx + c=0(a≠0)$有两个实数根$x_{1},x_{2}$且$|x_{1}-x_{2}|=1$，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程$x^{2}-x=0$的两个根是$x_{1}=0$，$x_{2}=1$，$|0 - 1|=1$，则方程$x^{2}-x=0$是“邻近根方程”。
（1）判断方程$2x^{2}-6\sqrt{3}x + 13=0$是否是“邻近根方程”；
（2）若关于x的方程$2x^{2}+bx + c=0$（b，c是常数）是“邻近根方程”，求$3b^{2}-4c^{2}$的最大值。

答案： （1）是
$|x_{1}-x_{2}|=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}=\frac{\sqrt{108 - 104}}{2}=\frac{2}{2}=1$，是邻近根方程。
（2）最大值为4
$|x_{1}-x_{2}|=\frac{\sqrt{b^{2}-8c}}{2}=1$，$b^{2}-8c=4$，$3b^{2}-4c^{2}=3(8c + 4)-4c^{2}=-4c^{2}+24c + 12=-4(c - 3)^{2}+48$，最大值为48。