《2025年同步练习册分层卷七年级数学上册鲁教版》

1. (8分)如图, $ \angle BAC = 90° $, $ AB = AC $, $ BD $ 是 $ \angle ABC $ 的平分线, 且 $ CE \perp BD $, 交 $ BD $ 的延长线于点 $ E $。试说明: $ BD = 2CE $。

答案：
解：如图，延长 CE 与 BA 的延长线相交于点 F。

因为 CE⊥BE，∠BAC=90°，
所以∠ABD+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°。
所以∠ABD=∠ACF。
在△ABD 和△ACF 中，
∠ABD=∠ACF，
AB=AC，
∠BAD=∠CAF，
所以△ABD≌△ACF(ASA)。
所以 BD=CF。
因为 BD 是∠ABC 的平分线，
所以∠EBC=∠EBF。
在△BCE 和△BFE 中，
∠EBC=∠EBF，
BE=BE，
∠CEB=∠FEB，
所以△BCE≌△BFE(ASA)。
所以 CE=EF。
所以 CF=2CE。
所以 BD=CF=2CE。

2. (8分)如图, $ \triangle ABC $ 为等边三角形, 延长 $ BC $ 到点 $ D $, 延长 $ BA $ 到点 $ E $, 使 $ AE = BD $, 连接 $ EC $, $ ED $。试说明: $ CE = DE $。

答案：
解：如图，延长 BD 至点 F，使 DF=BC，连接 EF。

因为 AE=BD，△ABC 为等边三角形，
所以 DF=BC=AB，∠B=60°。
所以 AE+AB=BD+DF，即 BE=BF。
所以△BEF 为等边三角形。
所以∠F=60°，BE=EF。
在△ECB 和△EDF 中，
BE=FE，
∠B=∠F，
BC=FD，
所以△ECB≌△EDF(SAS)。
所以 CE=DE。