《2025年同步练习册分层卷七年级数学上册鲁教版》

20. (10 分)学完勾股定理之后,同学们想利用升旗的绳子、卷尺测算出学校旗杆的高度。爱动脑筋的小亮设计了一个方案：如图,小亮将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面,测得此时绳子末端距旗杆底端 $ 1\ m $,然后将绳子末端拉直到距离旗杆 $ 5\ m $ 处,测得此时绳子末端距离地面的高度为 $ 1\ m $。如果设旗杆的高度为 $ x\ m $(滑轮上方的部分忽略不计),求 $ x $ 的值。

答案： 解：如图，由旗杆的高度为 $x$ m，可得 $AD = x$ m，$AB = (x - 1)$m，$BC = 5$ m。左图，根据勾股定理，得绳长的平方 $= x^2 + 1^2$；右图，根据勾股定理，得绳长的平方 $= (x - 1)^2 + 5^2$，所以 $x^2 + 1^2 = (x - 1)^2 + 5^2$，解得 $x = 12.5$，即 $x$ 的值为 12.5。

21. (10 分)如图 1,圆柱形容器高为 $ 18\ cm $,底面周长为 $ 24\ cm $,在杯内壁离杯底 $ 4\ cm $ 的点 $ B $ 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿 $ 2\ cm $ 与蜂蜜相对的点 $ A $ 处。为了吃到蜂蜜,蚂蚁从外壁 $ A $ 处沿着最短路径到达内壁 $ B $ 处。
(1)图 2 是杯子的侧面展开图,请在杯沿 $ CD $ 上确定一点 $ P $,使蚂蚁沿 $ A - P - B $ 路线爬行,距离最短；
(2)求出蚂蚁爬行的最短路径长。

答案：
(1)如图，点 $P$ 即为所求；
(2)如图，过点 $B$ 作 $BE \perp AC$ 于点 $E$。易知 $BE = \frac{1}{2} × 24 = 12$ (cm)，$A_1E = 18 - 4 + 2 = 16$ (cm)。在 $Rt\triangle A_1BE$ 中，由勾股定理，得 $A_1E^2 + BE^2 = A_1B^2$，即 $16^2 + 12^2 = A_1B^2$，所以 $A_1B = 20$ cm，即蚂蚁爬行的最短路径长是 20 cm。