《2025年同步练习册分层卷七年级数学上册鲁教版》

7. (8分)如图, 在正方形 $ ABCD $ 中, $ E $ 为 $ BC $ 上的一点, $ F $ 为 $ CD $ 上的一点, $ BE + DF = EF $, 求 $ \angle EAF $ 的度数。

答案：
解：如图，延长 EB 到点 G，使得 BG=DF，连接 AG。

易知在△ABG 和△ADF 中，
AB=AD，
∠ABG=∠ADF=90°，
BG=DF，
所以△ABG≌△ADF(SAS)。
所以∠DAF=∠BAG，AF=AG。
因为 BE+DF=EF，所以 BE+BG=EF，
即 EG=EF。
在△AEG 和△AEF 中，
AE=AE，
EG=EF，
AG=AF，
所以△AEG≌△AEF(SSS)。
所以∠EAG=∠EAF。
因为∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°，
所以∠EAG+∠EAF=90°。
所以∠EAF=45°。

8. (10分)如图, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ AD $ 是边 $ BC $ 上的中线, $ E $ 是 $ AD $ 上一点, 延长 $ BE $ 交 $ AC $ 于点 $ F $。
(1)若 $ BE = AC $, 试说明: $ AF = EF $;
(2)若 $ AF = EF $, 试说明: $ BE = AC $。

答案：

(1)如图，延长 AD 到点 G，使得 AD=DG，连接 BG。
因为 AD 是边 BC 上的中线，
所以 DC=DB。
在△ADC 和△GDB 中，
AD=DG，
∠ADC=∠GDB，
DC=DB，
所以△ADC≌△GDB(SAS)。
所以∠CAD=∠G，BG=AC。
又因为 BE=AC，
所以 BE=BG。
所以∠BED=∠G。
因为∠BED=∠AEF，
所以∠AEF=∠CAD，
即∠AEF=∠FAE。
所以 AF=EF。

(2)如图，延长 AD 到点 G，使得 AD=DG，连接 BG。
因为 AD 是边 BC 上的中线，
所以 DC=DB。
在△ADC 和△GDB 中，
AD=DG，
∠ADC=∠GDB，
DC=DB，
所以△ADC≌△GDB(SAS)。
所以∠CAD=∠G，BG=AC。
因为 AF=EF，
所以∠AEF=∠EAF。
所以∠G=∠AEF=∠BEG。
所以 BE=BG。
所以 BE=AC。