《2025年同步练习册分层卷七年级数学上册鲁教版》

22. (10 分)如图,在等边三角形 ABC 中,点 D,E 分别在边 BC,AC 上,且 DE // AB,过点 E 作 EF⊥DE,交 BC 的延长线于点 F。
(1)求∠F 的度数；
(2)若 CD = 3,求 DF 的长。

答案： 解：
(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠B=60°。因为DE//AB，所以∠EDC=∠B=60°。因为EF⊥DE，所以∠DEF=90°。所以∠F=90°-∠EDC=30°。
(2)因为∠ACB=60°，∠EDC=60°，所以△EDC是等边三角形。所以ED=CD=3。因为∠DEF=90°，∠F=30°，所以DF=2DE=6。

23. (12 分)如图,在△ABC 中,∠ABC = 45°,CD⊥AB 于点 D,AC 的垂直平分线 BE 交 CD 于点 F,交 AC 于点 E。
(1)判断△DBC 的形状并说明理由；
(2)试说明：BF = AC；
(3)试说明：CE = $\frac{1}{2}$BF。

答案： 解：
(1)△DBC是等腰直角三角形。理由如下：因为∠ABC=45°，CD⊥AB，所以∠BCD=45°。所以BD=CD。所以△DBC是等腰直角三角形。
(2)因为BE是AC的垂直平分线，CD⊥AB，所以∠BEC=∠ADC=∠BDF=90°。因为∠BFD=∠CFE，所以∠DBF=∠DCA。在△BDF和△CDA中，∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，∠DBF=∠DCA，所以△BDF≌△CDA(ASA)。所以BF=AC。
(3)因为BE是AC的垂直平分线，所以CE=1/2AC。由
(2)知BF=AC，所以CE=1/2BF。