《2025年同步练习册分层卷七年级数学上册鲁教版》

9. (10分)如图, 在四边形 $ ABCD $ 中, $ AD // BC $, $ E $ 为 $ CD $ 的中点, 连接 $ AE $ 并延长交 $ BC $ 的延长线于点 $ F $, 连接 $ BE $, 且 $ BE \perp AF $。试说明:
(1) $ FC = AD $;
(2) $ AB = BC + AD $。

答案：
(1)因为 AD//BC，
所以∠ADE=∠FCE。
因为 E 是 CD 的中点，
所以 DE=CE。
在△ADE 和△FCE 中，
∠ADE=∠FCE，
DE=CE，
∠AED=∠FEC，
所以△ADE≌△FCE(ASA)。
所以 FC=AD。
(2)因为△ADE≌△FCE，
所以 AE=FE。
又因为 BE⊥AF，
所以∠AEB=∠FEB=90°，且 BE=BE，AE=FE。
所以△AEB≌△FEB(SAS)。
所以 AB=BF。
所以 AB=BF=BC+CF。
因为 AD=FC，
所以 AB=BC+AD。

10. (8分)如图, 在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle ACB = 90° $, $ AC = BC $, $ E $ 为 $ \triangle ABC $ 外一点, 且 $ \angle CEA = 45° $。试说明: $ AE \perp BE $。

答案：
解：如图，过点 C 作 CF⊥CE 交 EA 的延长线于点 F。

因为∠CEA=45°，
所以∠F=45°=∠CEA。
所以 CF=CE。
因为∠FCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB=90°，
所以∠FCA=∠ECB。
在△FCA 和△ECB 中，
CF=CE，
∠FCA=∠ECB，
AC=BC，
所以△FCA≌△ECB(SAS)。
所以∠BEC=∠F=45°。
所以∠AEB=∠AEC+∠BEC=90°，
即 AE⊥BE。