《2025年同步练习册分层卷七年级数学上册鲁教版》

22.(10分)如图,在△ABC中,∠B＜∠ACB,AD平分∠BAC,P为线段AD上的一个动点,PE⊥AD,交直线BC于点E。
(1)若∠B= 35°,∠ACB= 85°,求∠E的度数；
(2)当点P在线段AD上运动时,试说明：$∠E= \frac{1}{2}(∠ACB-∠B)。$

答案：
(1)因为∠B=35°,∠ACB=85°,所以∠BAC=60°。因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAC=30°。所以∠ADC=180°−30°−85°=65°。又因为PE⊥AD，所以∠DPE=90°。所以∠E=25°。
(2)因为∠B+∠BAC+∠ACB=180°,所以∠BAC=180°−(∠B+∠ACB)。因为AD平分∠BAC，所以∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=90°−$\frac{1}{2}$(∠B+∠ACB)。所以∠ADC=180°−∠DAC−∠ACB=90°−$\frac{1}{2}$(∠ACB−∠B)。因为PE⊥AD，所以∠DPE=90°。所以∠ADC+∠E=90°。所以∠E=90°−∠ADC,即∠E=$\frac{1}{2}$(∠ACB−∠B)。

23.(12分)如图,在△ABC中,∠B= ∠C,AB= 8cm,BC= 6cm,D为AB的中点。如果点P在线段BC上以每秒2cm的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上以每秒a cm的速度由点C向点A运动,设运动时间为t(0≤t≤3)s。
(1)用含t的代数式表示PC的长度；
(2)若点P,Q的运动速度相等,经过1s后,△BPD与△CQP是否全等？请说明理由。
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答案：
(1)由题意，得PC=BC−BP=(6-2t)cm。
(2)△BPD与△CQP全等。理由如下:因为t=1,所以BP=CQ=2×1=2(cm)。所以PC=BC−BP=6−2=4(cm)。因为AB=8cm,D为AB的中点，所以BD=4cm。所以PC=BD。在△BPD和△CQP中，$\left\{\begin{array}{l} BD=CP,\\ ∠B=∠C,\\ BP=CQ,\end{array}\right. $所以△BPD≌△CQP(SAS)。