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17. (10 分)如图,在一棵树 $ CD $ 的 $ 10\ m $ 高的 $ B $ 处有两只猴子。一只猴子爬下树走到离树 $ 20\ m $ 的池塘 $ A $ 处,另一只爬到树顶 $ D $ 后直接跃到 $ A $ 处,距离以直线计算。如果两只猴子所经过的距离相等,求这棵树的高度。
答案：
解：设树的高度为 $x$ m。因为两只猴子所经过的距离相等，即都为 30 m，所以由勾股定理，得 $x^2 + 20^2 = [30 - (x - 10)]^2$，解得 $x = 15$。故这棵树的高度为 15 m。
18. (10 分)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = 15 $,$ BC = 14 $,$ AC = 13 $,求 $ \triangle ABC $ 的面积。某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请按照他们的解题思路,完成解答过程。
(1)作 $ AD \perp BC $ 于点 $ D $,设 $ BD = x $,用含 $ x $ 的代数式表示 $ CD $,则 $ CD = \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } $；
(2)分别在 $ Rt\triangle ADC $ 和 $ Rt\triangle ADB $ 中根据勾股定理,利用 $ AD $ 作为“桥梁”建立方程,并求出 $ x $ 的值；
(3)求 $ \triangle ABC $ 的面积。
(1)
(2)
(3)
(1)作 $ AD \perp BC $ 于点 $ D $,设 $ BD = x $,用含 $ x $ 的代数式表示 $ CD $,则 $ CD = \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } $；
(2)分别在 $ Rt\triangle ADC $ 和 $ Rt\triangle ADB $ 中根据勾股定理,利用 $ AD $ 作为“桥梁”建立方程,并求出 $ x $ 的值；
(3)求 $ \triangle ABC $ 的面积。
(1)
14 - x
(2)
在 $Rt\triangle ADC$ 和 $Rt\triangle ADB$ 中，根据勾股定理，得 $AD^2 = AC^2 - CD^2 = 13^2 - (14 - x)^2$，$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 15^2 - x^2$，所以 $13^2 - (14 - x)^2 = 15^2 - x^2$，解得 $x = 9$
(3)
在 $Rt\triangle ADC$ 中，根据勾股定理，得 $AD^2 = AC^2 - CD^2 = 13^2 - (14 - 9)^2 = 144$，所以 $AD = 12$。所以$\triangle ABC$ 的面积为 $\frac{1}{2}BC \cdot AD = \frac{1}{2} × 14 × 12 = 84$
答案：
(1)$14 - x$；
(2)在 $Rt\triangle ADC$ 和 $Rt\triangle ADB$ 中，根据勾股定理，得 $AD^2 = AC^2 - CD^2 = 13^2 - (14 - x)^2$，$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 15^2 - x^2$，所以 $13^2 - (14 - x)^2 = 15^2 - x^2$，解得 $x = 9$；
(3)在 $Rt\triangle ADC$ 中，根据勾股定理，得 $AD^2 = AC^2 - CD^2 = 13^2 - (14 - 9)^2 = 144$，所以 $AD = 12$。所以$\triangle ABC$ 的面积为 $\frac{1}{2}BC \cdot AD = \frac{1}{2} × 14 × 12 = 84$。
(1)$14 - x$；
(2)在 $Rt\triangle ADC$ 和 $Rt\triangle ADB$ 中，根据勾股定理，得 $AD^2 = AC^2 - CD^2 = 13^2 - (14 - x)^2$，$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 15^2 - x^2$，所以 $13^2 - (14 - x)^2 = 15^2 - x^2$，解得 $x = 9$；
(3)在 $Rt\triangle ADC$ 中，根据勾股定理，得 $AD^2 = AC^2 - CD^2 = 13^2 - (14 - 9)^2 = 144$，所以 $AD = 12$。所以$\triangle ABC$ 的面积为 $\frac{1}{2}BC \cdot AD = \frac{1}{2} × 14 × 12 = 84$。
19. (10 分)如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ \angle B = 90^{\circ} $,$ AB = 15 $,$ BC = 20 $,$ CD = 7 $,$ AD = 24 $。求：
(1)$ \angle ADC $ 的度数；
(2)四边形 $ ABCD $ 的面积。
(1)$ \angle ADC $ 的度数；
(2)四边形 $ ABCD $ 的面积。
答案：
(1)连接 $AC$，图略。在$\triangle ABC$ 中，$\angle B = 90°$，$AB = 15$，$BC = 20$，由勾股定理，得 $AC = 25$。因为 $CD = 7$，$AD = 24$，所以 $AD^2 + CD^2 = AC^2$。所以$\triangle ACD$ 是直角三角形。所以 $\angle ADC = 90°$；
(2)四边形 $ABCD$ 的面积 $= S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2}AB \cdot BC + \frac{1}{2}AD \cdot CD = \frac{1}{2} × 15 × 20 + \frac{1}{2} × 24 × 7 = 234$。
(1)连接 $AC$，图略。在$\triangle ABC$ 中，$\angle B = 90°$，$AB = 15$，$BC = 20$，由勾股定理，得 $AC = 25$。因为 $CD = 7$，$AD = 24$，所以 $AD^2 + CD^2 = AC^2$。所以$\triangle ACD$ 是直角三角形。所以 $\angle ADC = 90°$；
(2)四边形 $ABCD$ 的面积 $= S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2}AB \cdot BC + \frac{1}{2}AD \cdot CD = \frac{1}{2} × 15 × 20 + \frac{1}{2} × 24 × 7 = 234$。
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