《2025年同步练习册分层卷七年级数学上册鲁教版》

5. (8分)如图, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ BE $, $ CF $ 分别是 $ AC $, $ AB $ 两边上的高, 在 $ BE $ 上截取 $ BD = AC $, 在 $ CF $ 的延长线上截取 $ CG = AB $, 连接 $ AD $, $ AG $。试说明: $ AD = AG $。

答案： 解：因为 BE⊥AC，CF⊥AB，
所以∠HFB=∠HEC=90°。
又因为∠BHF=∠CHE，
所以∠ABD=∠GCA。
在△ABD 和△GCA 中，
AB=CG，
∠ABD=∠GCA，
BD=AC，
所以△ABD≌△GCA(SAS)。
所以 AD=AG。

6. (8分)如图, 在 $ \triangle ABC (AB \neq AC) $ 中, 点 $ D $, $ E $ 在边 $ BC $ 上, 且 $ DE = EC $, 过点 $ D $ 作 $ DF // BA $, 交 $ AE $ 于点 $ F $, $ DF = AC $。试说明: $ AE $ 平分 $ \angle BAC $。

答案：
解：如图，延长 FE 到点 G，使 EG=EF，连接 CG。
在△DEF 和△CEG 中，
ED=EC，
∠DEF=∠CEG，
EF=EG，

所以△DEF≌△CEG(SAS)。
所以 DF=CG，∠DFE=∠G。
因为 DF//AB，
所以∠DFE=∠BAE。
所以∠G=∠BAE。
因为 DF=AC，
所以 GC=AC。
所以∠G=∠CAE。
所以∠BAE=∠CAE，
即 AE 平分∠BAC。