《2025年同步练习册分层卷七年级数学上册鲁教版》

20.(10分)如图,点D,E分别在AB,AC上,∠ADC= ∠AEB= 90°,BE,CD相交于点O,OB= OC。试说明：∠1= ∠2。
小虎同学的说明过程如下：
解：因为∠ADC= ∠AEB= 90°,
所以∠DOB+∠B= ∠EOC+∠C= 90°。
因为∠DOB= ∠EOC,
所以∠B= ∠C。……第一步
又因为OA= OA,OB= OC,
所以△ABO≌△ACO。……第二步
所以∠1= ∠2。……第三步
(1)小虎同学的说明过程中,第二步出现错误；
(2)请写出正确的说明过程。
因为∠ADC=∠AEB=90°,所以∠BDO=∠CEO=90°在△DOB和△EOC中，$\left\{\begin{array}{l} ∠BDO=∠CEO,\\ ∠DOB=∠EOC,\\ OB=OC,\end{array}\right. $所以△DOB≌△EOC(AAS)。所以OD=OE,∠B=∠C。所以DC=EB。在△ADC和△AEB中，$\left\{\begin{array}{l} ∠ADC=∠AEB,\\ DC=EB,\\ ∠C=∠B,\end{array}\right. $所以△ADC≌△AEB(ASA)。所以AD=AE。在△ADO和△AEO中，$\left\{\begin{array}{l} AD=AE,\\ ∠ADO=∠AEO,\\ OD=OE,\end{array}\right. $所以△ADO≌△AEO(SAS)。所以∠1=∠2。

答案：
(1)二
(2)因为∠ADC=∠AEB=90°,所以∠BDO=∠CEO=90°在△DOB和△EOC中，$\left\{\begin{array}{l} ∠BDO=∠CEO,\\ ∠DOB=∠EOC,\\ OB=OC,\end{array}\right. $所以△DOB≌△EOC(AAS)。所以OD=OE,∠B=∠C。所以DC=EB。在△ADC和△AEB中，$\left\{\begin{array}{l} ∠ADC=∠AEB,\\ DC=EB,\\ ∠C=∠B,\end{array}\right. $所以△ADC≌△AEB(ASA)。所以AD=AE。在△ADO和△AEO中，$\left\{\begin{array}{l} AD=AE,\\ ∠ADO=∠AEO,\\ OD=OE,\end{array}\right. $所以△ADO≌△AEO(SAS)。所以∠1=∠2。

21.(10分)如图,已知在△ABC和△AEF中,AB= AC,AE= AF,∠CAB= ∠EAF,BE交FC于点O,交AC于点D。
(1)试说明：BE= CF；
(2)当∠BAC= 70°时,求∠BOC的度数。

答案：
(1)因为∠CAB=∠EAF,所以∠CAB+∠CAE=∠EAF+∠CAE。所以∠BAE=∠CAF。在△BAE和△CAF中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠BAE=∠CAF,\\ AE=AF,\end{array}\right. $所以△BAE≌△CAF(SAS)。所以BE=CF。
(2)因为△BAE≌△CAF,所以∠EBA=∠FCA,即∠DBA=∠OCD。因为∠BDA=∠ODC,所以∠BAD=∠COD。因为∠BAC=70°,所以∠BOC=70°。