《2025年作业本浙江教育出版社八年级数学上册浙教版》

9. 如图,$ AB \perp BC $,射线 $ CM \perp BC $,点 $ P $ 是线段 $ BC $(不与点 $ B $,$ C $ 重合)上的动点,过点 $ P $ 作 $ DP \perp AP $,交射线 $ CM $ 于点 $ D $,连结 $ AD $。
(1)如图①,若 $ BP = 5 $,当 $ CD $ 为何值时,点 $ P $ 在线段 $ AD $ 的垂直平分线上？
(2)如图②,若 $ DP $ 平分 $ \angle ADC $,探究 $ PB $ 和 $ PC $ 的数量关系,并说明理由。

答案： （1）当CD=5时，点P在线段AD的垂直平分线上。事实上，由AB⊥BC，CM⊥BC，DP⊥AP，可推出∠APB=∠PDC。当CD=5时，可证得△ABP≌△PCD，得AP=DP。由此可得点P在线段AD的垂直平分线上。（2）PB=PC。理由如下：延长AP，DC，交于点E。证明△DPA≌△DPE，得PA=PE。再证明△APB≌△EPC，得PB=PC。