《2025年作业本浙江教育出版社八年级数学上册浙教版》

9. 请阅读下列材料。
问题：如图①,在等边三角形$ABC内有一点P$,且$PA = 2$,$PB= \sqrt{3}$,$PC = 1$,求$\angle BPC$。
李明同学的思路是：
将$\triangle BPC绕点B逆时针旋转60^{\circ}$,得到$\triangle BP'A$(如图②),连结$P'P$。可知$\triangle BP'P$是______三角形,$P'A = PC = 1$,$\angle BP'P= $______,$P'P = PB= \sqrt{3}$。在$\triangle AP'P$中,因为$P'P^{2}+P'A^{2}= (\sqrt{3})^{2}+1^{2}= 4 = PA^{2}$,所以$\triangle AP'P$是______三角形,$\angle AP'P= $______；
所以$\angle BPC= \angle BP'A= \angle BP'P+\angle AP'P= $______。
问题得到解决。
(1) 将李明的思路补充完整。
(2) 请你参考李明同学的思路,探究并解决下列问题：
如图③,在等腰直角三角形$ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$。$P是\triangle ABC$内一点,且$PA = 1$,$PB = 3$,$PC= \sqrt{7}$,求$\angle CPA$的度数。

答案：
（1）等边；$60^{\circ}$；直角；$90^{\circ}$；$150^{\circ}$。（2）如图，将$\triangle APB$绕点A逆时针旋转$90^{\circ}$可得$\triangle AP'C$，连结$PP'$，所以$\angle P'AP=90^{\circ},PA=P'A=1,P'C=PB=3$，所以$\triangle PAP'$为等腰直角三角形，$\angle APP'=45^{\circ}$。由勾股定理，得$PP'=\sqrt{2}PA=\sqrt{2}$。在$\triangle PP'C$中，因为$P'C=3,PP'=\sqrt{2},PC=\sqrt{7}$，所以$PC^{2}+PP'^{2}=P'C^{2}$，所以$\triangle P'PC$为直角三角形，$\angle CPP'=90^{\circ}$，所以$\angle CPA=\angle CPP'+\angle APP'=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}$。