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2. 中国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题:“今有凫起南海,七日至北海；雁起北海,九日至南海。今凫雁俱起,问何日相逢？”译文如下:野鸭从南海飞往北海需要7天,雁从北海飞往南海需要9天。它们分别从南海、北海同时起飞,多少天后能相遇？(5分)
答案：
解析：本题可通过设总路程为单位“$1$”，根据“速度 = 路程÷时间”分别求出野鸭和雁的速度，再根据“相遇时间 = 总路程÷速度和”来求解相遇时间。
步骤一：计算野鸭和雁的速度
设南海到北海的路程为单位“$1$”。
野鸭从南海飞往北海需要$7$天，根据“速度 = 路程÷时间”，可得野鸭的速度为$1÷7=\frac{1}{7}$。
雁从北海飞往南海需要$9$天，同理可得雁的速度为$1÷9=\frac{1}{9}$。
步骤二：计算相遇时间
根据“相遇时间 = 总路程÷速度和”，已知总路程为$1$，野鸭速度为$\frac{1}{7}$，雁的速度为$\frac{1}{9}$，则它们的速度和为$\frac{1}{7} + \frac{1}{9}$。
通分可得$\frac{1}{7} + \frac{1}{9}=\frac{9}{63}+\frac{7}{63}=\frac{16}{63}$。
所以相遇时间为$1÷(\frac{1}{7} + \frac{1}{9}) = 1÷\frac{16}{63}=\frac{63}{16}$（天）。
答案：$\frac{63}{16}$天
步骤一：计算野鸭和雁的速度
设南海到北海的路程为单位“$1$”。
野鸭从南海飞往北海需要$7$天，根据“速度 = 路程÷时间”，可得野鸭的速度为$1÷7=\frac{1}{7}$。
雁从北海飞往南海需要$9$天，同理可得雁的速度为$1÷9=\frac{1}{9}$。
步骤二：计算相遇时间
根据“相遇时间 = 总路程÷速度和”，已知总路程为$1$，野鸭速度为$\frac{1}{7}$，雁的速度为$\frac{1}{9}$，则它们的速度和为$\frac{1}{7} + \frac{1}{9}$。
通分可得$\frac{1}{7} + \frac{1}{9}=\frac{9}{63}+\frac{7}{63}=\frac{16}{63}$。
所以相遇时间为$1÷(\frac{1}{7} + \frac{1}{9}) = 1÷\frac{16}{63}=\frac{63}{16}$（天）。
答案：$\frac{63}{16}$天
3. 一个长方体的长、宽、高的比是3：2：1,这个长方体的棱长之和是48厘米,这个长方体的体积是多少立方厘米？(5分)
答案：
长方体棱长总和包括4条长、4条宽、4条高，所以一组长、宽、高的和为：48÷4=12（厘米）
长、宽、高的总份数：3+2+1=6
每份长度：12÷6=2（厘米）
长：2×3=6（厘米），宽：2×2=4（厘米），高：2×1=2（厘米）
体积：6×4×2=48（立方厘米）
答：这个长方体的体积是48立方厘米。
长、宽、高的总份数：3+2+1=6
每份长度：12÷6=2（厘米）
长：2×3=6（厘米），宽：2×2=4（厘米），高：2×1=2（厘米）
体积：6×4×2=48（立方厘米）
答：这个长方体的体积是48立方厘米。
4. 小强读一本书,第一天读了全书的$\frac{3}{8}$,第二天读了36页,这时已读的页数与未读的页数的比是3：2。小强第一天读了多少页？(5分)
答案：
解析：本题考查的是分数和比例的应用。
设全书总页数为 $ x $ 页。
第一天读了全书的 $ \frac{3}{8} $，即 $ \frac{3}{8}x $ 页。
第二天读了 36 页。
这时已读的页数与未读的页数的比是 3：2。
所以，已读的页数为 $ \frac{3}{8}x + 36 $，未读的页数为 $ x - (\frac{3}{8}x + 36) $。
根据比例关系，可以得到方程：
$\frac{\frac{3}{8}x + 36}{x - (\frac{3}{8}x + 36)} = \frac{3}{2}$
交叉相乘得到：
$2(\frac{3}{8}x + 36) = 3(x - \frac{3}{8}x - 36)$
展开并化简：
$\frac{6}{8}x + 72 = 3(\frac{5}{8}x - 36)$
$\frac{6}{8}x + 72 = \frac{15}{8}x - 108$
将所有 $ x $ 项移到方程左边，常数项移到右边：
$72+108 = \frac{15}{8}x-\frac{6}{8}x$
$180 = \frac{9}{8}x$
解得：
$x = 160$
所以，全书总页数为 160 页。
第一天读了 $ \frac{3}{8} $ 的全书，即：
$\frac{3}{8} × 160 = 60$（页）。
答案：60页
设全书总页数为 $ x $ 页。
第一天读了全书的 $ \frac{3}{8} $，即 $ \frac{3}{8}x $ 页。
第二天读了 36 页。
这时已读的页数与未读的页数的比是 3：2。
所以，已读的页数为 $ \frac{3}{8}x + 36 $，未读的页数为 $ x - (\frac{3}{8}x + 36) $。
根据比例关系，可以得到方程：
$\frac{\frac{3}{8}x + 36}{x - (\frac{3}{8}x + 36)} = \frac{3}{2}$
交叉相乘得到：
$2(\frac{3}{8}x + 36) = 3(x - \frac{3}{8}x - 36)$
展开并化简：
$\frac{6}{8}x + 72 = 3(\frac{5}{8}x - 36)$
$\frac{6}{8}x + 72 = \frac{15}{8}x - 108$
将所有 $ x $ 项移到方程左边，常数项移到右边：
$72+108 = \frac{15}{8}x-\frac{6}{8}x$
$180 = \frac{9}{8}x$
解得：
$x = 160$
所以，全书总页数为 160 页。
第一天读了 $ \frac{3}{8} $ 的全书，即：
$\frac{3}{8} × 160 = 60$（页）。
答案：60页
5. 2025年李超订阅两份杂志共用了120元,其中《小学科学》的价格是《少年科学》的$\frac{1}{3}$。订一份《少年科学》需要多少元？(5分)
答案：
设订一份《少年科学》需要$x$元，则《小学科学》的价格为$\frac{1}{3}x$元。
$x + \frac{1}{3}x = 120$
$\frac{4}{3}x = 120$
$x = 120 ÷ \frac{4}{3}$
$x = 120 × \frac{3}{4}$
$x = 90$
答：订一份《少年科学》需要90元。
$x + \frac{1}{3}x = 120$
$\frac{4}{3}x = 120$
$x = 120 ÷ \frac{4}{3}$
$x = 120 × \frac{3}{4}$
$x = 90$
答：订一份《少年科学》需要90元。
3名工人共同修一段路,甲修了全长的$\frac{2}{5}$,乙和丙修的长度的比是5：3,乙比甲少修48米。这段路全长有多少米？
答案：
乙和丙修的占全长的：$1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$
乙修的占全长的：$\frac{3}{5} × \frac{5}{5 + 3} = \frac{3}{5} × \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$
乙比甲少修的占全长的：$\frac{2}{5} - \frac{3}{8} = \frac{16}{40} - \frac{15}{40} = \frac{1}{40}$
这段路全长：$48 ÷ \frac{1}{40} = 1920$（米）
答：这段路全长有1920米。
乙修的占全长的：$\frac{3}{5} × \frac{5}{5 + 3} = \frac{3}{5} × \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$
乙比甲少修的占全长的：$\frac{2}{5} - \frac{3}{8} = \frac{16}{40} - \frac{15}{40} = \frac{1}{40}$
这段路全长：$48 ÷ \frac{1}{40} = 1920$（米）
答：这段路全长有1920米。
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