《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

11. (1) 已知 $ a, b, c $ 都是正整数，$ a＞b $，且 $ a^{2}-a b-a c+b c=8 $，求 $ a-c $ 的值。
(2) 已知 $ m, n $ 都是整数，$ 0＜m＜n \leqslant 2026 $，且 $ 2026^{2}+m^{2}=2025^{2}+n^{2} $，则满足条件的整数对 $ (m, n) $ 共有多少对？

答案： 11.解：
(1)
∵$a^2 - ab - ac + bc = 8，$
∴a(a - b) - c(a - b) = 8，
∴(a - b)(a - c) = 8.
∵a,b,c都是正整数，a ＞ b，
∴a - b ＞ 0，a - c ＞ 0，
∴(a - b)(a - c) = 1×8 = 8×1 = 2×4 = 4×2，
∴$\begin{cases} a - b = 1 \\ a - c = 8 \end{cases}$或$\begin{cases} a - b = 8 \\ a - c = 1 \end{cases}$或$\begin{cases} a - b = 2 \\ a - c = 4 \end{cases}$或$\begin{cases} a - b = 4 \\ a - c = 2 \end{cases}，$
∴a - c的值为8或1或4或2.
(2)
∵$2026^2 + m^2 = 2025^2 + n^2，$
∴$n^2 - m^2 = 2026^2 - 2025^2 = (2026 + 2025)(2026 - 2025) = 4051.$
∵4051 = 1×4051，
∴(n - m)(n + m) = 1×4051，
∴$\begin{cases} n - m = 1 \\ n + m = 4051 \end{cases}，$解得$\begin{cases} m = 2025 \\ n = 2026 \end{cases}，$综上所述，满足条件的整数对(m,n)共有1对.

12. 已知等腰三角形的两边长 $ a, b $ 满足 $ a^{2}+b^{2}-8 a-4 b+20=0 $，求这个等腰三角形的周长。

答案： 12.解：
∵$a^2 + b^2 - 8a - 4b + 20 = 0，$
∴$(a^2 - 8a + 16) + (b^2 - 4b + 4) = 0，$
∴$(a - 4)^2 + (b - 2)^2 = 0.$
∵$(a - 4)^2 ≥ 0，$$(b - 2)^2 ≥ 0，$
∴$\begin{cases} a - 4 = 0 \\ b - 2 = 0 \end{cases}，$解得$\begin{cases} a = 4 \\ b = 2 \end{cases}，$
∵2,2,4不符合三角形的三边关系，4,4,2符合三角形的三边关系，
∴这个等腰三角形的周长为10.

13. 已知 $ a^{2}+2 b=7, b^{2}-2 c=-1, c^{2}-6 a=-17 $，求 $ a+b+c $ 的值。

答案： 13.解：将已知条件中的三个等式相加，得$a^2 + 2b + b^2 - 2c + c^2 - 6a = -11，$即$(a^2 - 6a + 9) + (b^2 + 2b + 1) + (c^2 - 2c + 1) = 0，$
∴$(a - 3)^2 + (b + 1)^2 + (c - 1)^2 = 0.$
∵$(a - 3)^2 ≥ 0，$$(b + 1)^2 ≥ 0，$$(c - 1)^2 ≥ 0，$
∴$\begin{cases} a - 3 = 0 \\ b + 1 = 0 \\ c - 1 = 0 \end{cases}，$解得$\begin{cases} a = 3 \\ b = -1 \\ c = 1 \end{cases}，$
∴a + b + c = 3.

14. 已知 $ a b c \neq 0 $，且满足 $ 6\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=(a+b+2 c)^{2} $，求 $ a: b: c $ 的值。

答案： 14.解：
∵$6(a^2 + b^2 + c^2) = (a + b + 2c)^2，$
∴$6a^2 + 6b^2 + 6c^2 = a^2 + b^2 + 4c^2 + 2ab + 4ac + 4bc，$
∴$5a^2 + 5b^2 + 2c^2 - 2ab - 4ac - 4bc = 0，$即$(a^2 - 2ab + b^2) + (4a^2 - 4ac + c^2) + (4b^2 - 4bc + c^2) = 0，$
∴$(a - b)^2 + (2a - c)^2 + (2b - c)^2 = 0.$
∵$(a - b)^2 ≥ 0，$$(2a - c)^2 ≥ 0，$$(2b - c)^2 ≥ 0，$
∴a = b，c = 2a，c = 2b，
∴a:b:c = 1:1:2.