《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

5. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$BD$是$\triangle ABC$的角平分线，$CE\perp BD$，垂足为$E$。若$CE = 3$，求$\triangle BCD$的面积。

答案：
5.解:如图，延长BA,CE相交于点F.
∵BD平分∠ABC,
∴∠FBE=∠CBE.
∵CE⊥BD,
∴∠BEF=∠BEC=90°.又BE=BE,
∴△BEF≌△BEC(ASA),
∴FE=CE=3,CF=6.
∵∠ABD+∠F=90°,∠ACF+∠F=90°,
∴∠ABD=∠ACF.又∠BAD=∠CAF=90°,AB=AC,
∴△ABD≌△ACF(ASA),
∴BD=CF=6,
∴$S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}BD\cdot CE=\frac{1}{2}×6×3=9$.

6. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$BD$是$\triangle ABC$的角平分线，$\angle A = 108^{\circ}$。求证：$BC = AB + CD$。

答案：
6.证明:如图,在BC上截取BE=BA,连接DE.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠EBD.又BA=BE,BD=BD,
∴△ABD≌△EBD(SAS),
∴∠BED=∠A=108°,
∴∠DEC=72°.
∵∠A=108°,AB=AC,
∴∠C=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=36°,
∴∠EDC=180°−∠C−∠DEC=72°,
∴∠DEC=∠EDC,
∴CD=CE,
∴BC=BE+CE=AB+CD.

7. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle A = 100^{\circ}$，$BD$是$\triangle ABC$的角平分线，延长$BD$至点$E$，使$DE = AD$，连接$CE$。求证：$BC = AB + CE$。

答案：
7.证明:在BC上截取BF=BA,连接DF.
∵AB=AC,∠A=100°,
∴∠ABC=∠ACB=40°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠FBD=20°,又BA=BF,BD=BD,
∴△ABD≌△FBD (SAS),
∴DF=AD=DE,∠BFD=∠A=100°.
∵∠EDC=∠DBC+∠ACB=20°+40°=60°,∠FDC=∠BFD−∠ACB=100°−40°=60°,
∴∠EDC=∠FDC.又DF=DE,DC=DC,
∴△FDC≌△EDC(SAS),
∴CF=CE,
∴BC=BF+CF=AB+CE.