《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

7. (1) 已知 $ a+b=5, a^{2} b+a b^{2}=-10 $，则 $ a b $ 的值是-2。
(2) 已知 $ 4 m^{2}-n^{2}=8, n-2 m=2 $，则 $ 4 m^{2}+4 m n+n^{2} $ 的值是16。
(3) 已知 $ a-b=\frac{1}{2}, a b=\frac{1}{8} $，则 $ a^{3} b+2 a^{2} b^{2}+a b^{3} $ 的值是\frac{3}{32}。
(4) 已知 $ a, b $ 为非零实数，且 $ a^{2}-7 a b+12 b^{2}=0 $，则 $ \frac{a-b}{a+b} $ 的值是\frac{1}{2}或\frac{3}{5}。

答案： $7.(1)-2 (2)16 (3)\frac{3}{32} (4)\frac{1}{2}$或$\frac{3}{5}$

8. 已知 $ \left(a^{2}+b^{2}-10\right)\left(a^{2}+b^{2}\right)+25=0 $，且 $ a-b=1 $，求 $ a+b $ 的值。

答案： 8.解：由题意，得$(a^2 + b^2)^2 - 10(a^2 + b^2) + 25 = 0，$
∴$(a^2 + b^2 - 5)^2 = 0，$
∴$a^2 + b^2 = 5.$
∵a - b = 1，
∴$a^2 - 2ab + b^2 = 1，$
∴2ab = 4，
∴$(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab = 1^2 + 2×4 = 9，$
∴a + b的值是3或-3.

9. 已知在 $ \triangle A B C $ 中，三边长为 $ a, b, c $ 满足等式 $ a^{2}-21 b^{2}-c^{2}+4 a b+10 b c=0 $，请你探究 $ a $，$ b, c $ 之间的数量关系。

答案： 9.解：
∵$a^2 - 21b^2 - c^2 + 4ab + 10bc = 0，$
∴$(a + 2b)^2 - (c - 5b)^2 = 0，$
∴(a + 2b + c - 5b)(a + 2b - c + 5b) = 0，
∴(a + c - 3b)(a + 7b - c) = 0.
∵a + b ＞ c，
∴a + 7b - c ＞ 0，
∴a + c - 3b = 0，即a + c = 3b.

10. 观察下列等式：
$ 1^{2}+(1 × 2)^{2}+2^{2}=9=\left(1^{2}+1+1\right)^{2} $；
$ 2^{2}+(2 × 3)^{2}+3^{2}=49=\left(2^{2}+2+1\right)^{2} $；
$ 3^{2}+(3 × 4)^{2}+4^{2}=169=\left(3^{2}+3+1\right)^{2} $；
$ 4^{2}+(4 × 5)^{2}+5^{2}=441=\left(4^{2}+4+1\right)^{2} $；
$ 5^{2}+(5 × 6)^{2}+6^{2}=961=\left(5^{2}+5+1\right)^{2} $；
……
(1) 根据以上运算，你发现了什么规律？用含有 $ n $（$ n $ 为正整数）的式子表示该规律。
(2) 请用因式分解的知识说明你发现的规律的正确性。

答案： 10.解：$(1)n^2 + [n(n + 1)]^2 + (n + 1)^2 = (n^2 + n + 1)^2.(2)n^2 + [n(n + 1)]^2 + (n + 1)^2 = n^2 + n^2(n + 1)^2 + (n + 1)^2 = n^2[1 + n^2 + 2n + 1] + (n + 1)^2 = n^2[n^2 + 2n + 2] + (n + 1)^2 = n^4 + 2n^3 + 2n^2 + (n + 1)^2 = n^4 + 2n^3 + 2n^2 + n^2 + 2n + 1 = n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n + 1.(n^2 + n + 1)^2 = n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n + 1.$