《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

3. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = AD$，$\angle B+\angle D = 180^{\circ}$，$\angle EAF=\frac{1}{2}\angle BAD$。求证：$EF = BE + DF$。

答案：
3.证明:如图，延长CB至点M,使得BM = DF,连接AM.
∵∠ABC + ∠D = 180°,∠ABC + ∠ABM = 180°,
∴∠ABM = ∠D.又AB = AD,
∴△ABM≌△ADF(SAS),
∴AM = AF,∠BAM = ∠DAF.
∵∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD,
∴∠BAE + ∠DAF = $\frac{1}{2}$∠BAD,
∴∠EAM = ∠BAE + ∠BAM = $\frac{1}{2}$∠BAD = ∠EAF.又AE = AE,
∴△AEM≌△AEF(SAS),
∴EF = EM = BE + BM = BE + DF.
　　　　

1. 如图，$\triangle ABC$为等腰直角三角形，$AC = BC$，$AC\perp BC$，$A(0,3)$，$C(1,0)$，求点$B$的坐标。

答案：
1.解:如图，过点B作BD⊥x轴于点D.
∵∠ACO + ∠CAO = 90°，∠ACO + ∠BCD = 90°，
∴∠CAO = ∠BCD.又∠AOC = ∠CDB = 90°，AC = CB，
∴△CAO ≌ △BCD(AAS)，
∴BD = OC = 1，CD = AO = 3，
∴OD = CD + OC = 4，
∴点B的坐标为(4,1).

2. 如图，$\triangle ABC$在平面直角坐标系中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$。已知$B(4,0)$，$C(0,2)$，求点$A$的坐标。

答案：
2.解:如图,过点A作AD⊥y轴于点D,则∠ADC = ∠BOC = 90°.
∵∠ACB = 90°，
∴∠ACD = ∠CBO = 90° - ∠OCB.又AC = CB，
∴△ACD ≌ △CBO(AAS)，
∴AD = CO = 2，DC = OB = 4，
∴OD = DC - CO = 2，
∴点A的坐标为(-2,-2).