《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

10. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，连接DE，BE，DE交BC于点F.求证：$S_{△BDF}=S_{△BEF}.$

答案：
10.证明:[方法1]如图，过点D作DG//AC,交BC于点G,则∠DGB=∠ACB=∠ABC,
∴DG=DB=EC.
∵∠DGF=∠ECF,∠DFG=∠EFC,
∴△DFG≌△EFC(AAS),
∴DF=EF,即BF为△BDE的中线,
∴S△BDF=S△BEF.[方法2]如图,过点E作EH//AB,交BC的延长线于点H,通过证明△BDF≌△HEF即可.
　　　　

11. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，E为AC上一点，F为CB的延长线上一点，AE=BF，EF交AB于点G，EH⊥AB于点H，求$\frac{HG}{AB}$的值.

答案：
11.解:如图,过点E作EM//BC,交AB于点M,则∠AME=∠ABC=∠A=45°,∠MEG=∠F,
∴ME=AE=BF.
∵∠MGE=∠BGF,
∴△MEG≌△BFG(AAS),
∴MG=BG.
∵AE=ME,EH⊥AB,
∴AH=MH,
∴HG=MH+MG=$\frac{1}{2}$AM+$\frac{1}{2}$MB=$\frac{1}{2}$AB,
∴$\frac{HG}{AB}$=$\frac{1}{2}$.
　　　　　　

12. 如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，点F在AB上，点E在BC的延长线上，且∠FDE=120°.
(1)求证：DE=DF；
(2)若BF=1，CE=2，求AC的长.

答案：
12.
(1)证明:如图，过点D作DM//BC,交AB于点M,则△AMD 为等边三角形,
∴DM=DA=DC,∠DMF=∠DCE=120°.
∵∠MDF+∠FDC=∠CDE+∠FDC=120°,
∴∠MDF=∠CDE,
∴△MDF≌△CDE(ASA),
∴DE=DF.
(2)解:由
(1),得MF=CE=2,
∴BM=BF+FM=BF+CE=3,
∴AC=2BM=6.