《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

3. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$CD\perp AC$，且$CD = AC$，连接$BD$。若$\triangle BCD$的面积为$\frac{9}{2}$，求$BC$的长。

答案：
3.解:如图，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E.
∵∠ABC = 90°，CD⊥AC，
∴∠ACB + ∠A = ∠ACB + ∠ECD = 90°，
∴∠A = ∠ECD.又∠ABC = ∠E = 90°，AC = CD，
∴△ABC ≌ △CED(AAS)，
∴ED = BC.
∵S△BCD = $\frac{1}{2}$BC·ED = $\frac{1}{2}$BC² = $\frac{9}{2}$，
∴BC² = 9，BC = 3.

4. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，且$B(-3,4)$，$C(4,0)$，求点$A$的坐标。

答案：
4.解:如图,过点A作直线l//x轴，过点B作BM⊥l于点M,过点C作CN⊥l于点N.易得△ACN ≌ △BAM(AAS或ASA)，
∴AN = BM，CN = AM.设A(x_A,y_A)，则AN = 4 - x_A，BM = y_A - 4，AM = x_A - (-3)，CN = y_A，
∴$\begin{cases} 4 - x_A = y_A - 4, \\ y_A = x_A - (-3), \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x_A = \frac{5}{2}, \\ y_A = \frac{11}{2}, \end{cases}$
∴点A的坐标为($\frac{5}{2}$,$\frac{11}{2}$).

5. 如图，$D$，$A$，$E$三点共线，且$\angle D=\angle BAC=\angle E$，$AB = AC$。求证：$DE = BD + CE$。

答案： 5.证明:
∵∠BAE = ∠BAC + ∠EAC = ∠D + ∠DBA，∠D = ∠BAC，
∴∠DBA = ∠EAC.又∠D = ∠E，AB = CA，
∴△ADB ≌ △CEA(AAS)，
∴BD = AE，AD = CE，
∴DE = AD + AE = BD + CE.