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7. 如图，在等边三角形 $ABC$ 中，$P$ 是边 $BC$ 上一点，$PM \perp AB$ 于点 $M$，$PN \perp AC$ 于点 $N$，试说明 $\triangle AMN$ 与四边形 $BMNC$ 的周长之间的关系.
答案：
7.解:设$BM=a$，$CN=b$，易得$\angle BPM=\angle CPN=30^{\circ}$，$\therefore PB=2BM=2a$，$PC=2CN=2b$，$\therefore AB=AC=BC=2a+2b$，$\therefore AM=a+2b$，$AN=2a+b$，$\therefore C_{\triangle AMN}=AM+AN+MN=a+2b+2a+b+MN=3a+3b+MN$，$C_{四边形BMNC}=MB+BC+NC+MN=a+2a+２b+b+MN=3a+3b+MN$，$\therefore C_{\triangle AMN}=C_{四边形BMNC}$ ，即$\triangle AMN$,与四边形$BMNC$,的周长相等。
8. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle BAC = 30^{\circ}$，$D$ 为 $BC$ 边上一点，$DE \perp AB$ 于点 $E$，$DF \perp AC$ 于点 $F$.若 $DE + DF = \frac{7}{3}$，求 $AB$ 的长.
答案：
8.解:如图,过点$B$作$BM\perp AC$于点$M$。$\because S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ABC}$，$\therefore\frac{1}{2}AB\cdot DE+\frac{1}{2}AC\cdot DF=\frac{1}{2}AC\cdot BM$。$\because AB=AC$，$\therefore BM=DE+DF=\frac{7}{3}$。又$\angle BAC=30^{\circ}$，$\therefore AB=2BM=\frac{14}{3}$。
8.解:如图,过点$B$作$BM\perp AC$于点$M$。$\because S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ABC}$，$\therefore\frac{1}{2}AB\cdot DE+\frac{1}{2}AC\cdot DF=\frac{1}{2}AC\cdot BM$。$\because AB=AC$，$\therefore BM=DE+DF=\frac{7}{3}$。又$\angle BAC=30^{\circ}$，$\therefore AB=2BM=\frac{14}{3}$。
9. 如图，在等边三角形 $ABC$ 中，$AB = 6$，$E$ 为 $AC$ 的中点，$D$ 为边 $BC$ 上一动点，连接 $DE$，求 $DE + \frac{1}{2}BD$ 的最小值.
答案：
9.解:如图，连接$BE$，以$BE$为边在其下方作等边三角形$BEF$，$EF$交$BC$于点$H$。过点$D$作$DN\perp BF$于点$N$，过点$E$作$EM\perp BF$于点$M$。
易得$BC$与$EF$垂直，设$BC\perp EF$于点$H$。$\because E$为$AC$的中点，$\therefore\angle EBC=\frac{1}{2}\angle ABC=30^{\circ}$。
$\because\triangle BEF$为等边三角形，$\therefore\angle FBC=30^{\circ}$，$\therefore DN=\frac{1}{2}BD$，$\therefore DE+\frac{1}{2}BD=DE+DN\geqslant EM$，即$DE+\frac{1}{2}BD$的最小值为$EM$的长。在$\triangle BHE$和$\triangle EMB$中，$\begin{cases} \angle BHE=\angle EMB=90^{\circ},\\ \angle BEH=\angle EBM=60^{\circ},\\ BE=EB,\end{cases}$
$\therefore\triangle BHE\cong\triangle EMB(AAS)$，$\therefore EM=BH$，$\therefore DE+\frac{1}{2}BD$的最小值为$BH$的长。$\because CH=\frac{1}{2}CE=\frac{3}{2}$，$BH=BC - CH=6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$，$\therefore DE+\frac{1}{2}BD$的最小值为$\frac{9}{2}$。
9.解:如图，连接$BE$，以$BE$为边在其下方作等边三角形$BEF$，$EF$交$BC$于点$H$。过点$D$作$DN\perp BF$于点$N$，过点$E$作$EM\perp BF$于点$M$。
易得$BC$与$EF$垂直，设$BC\perp EF$于点$H$。$\because E$为$AC$的中点，$\therefore\angle EBC=\frac{1}{2}\angle ABC=30^{\circ}$。
$\because\triangle BEF$为等边三角形，$\therefore\angle FBC=30^{\circ}$，$\therefore DN=\frac{1}{2}BD$，$\therefore DE+\frac{1}{2}BD=DE+DN\geqslant EM$，即$DE+\frac{1}{2}BD$的最小值为$EM$的长。在$\triangle BHE$和$\triangle EMB$中，$\begin{cases} \angle BHE=\angle EMB=90^{\circ},\\ \angle BEH=\angle EBM=60^{\circ},\\ BE=EB,\end{cases}$
$\therefore\triangle BHE\cong\triangle EMB(AAS)$，$\therefore EM=BH$，$\therefore DE+\frac{1}{2}BD$的最小值为$BH$的长。$\because CH=\frac{1}{2}CE=\frac{3}{2}$，$BH=BC - CH=6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$，$\therefore DE+\frac{1}{2}BD$的最小值为$\frac{9}{2}$。
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