《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

8. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$BD$是$\triangle ABC$的角平分线。若$\angle A = 100^{\circ}$，求证：$BC = BD + AD$。

答案：
8.证明:如图,在BC上截取BE=BD,BF=BA,连接DE,DF.
∵AB=AC,∠A=100°,
∴∠ABC=∠C=40°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=20°.
∵BE=BD,
∴∠BED=∠BDE=80°,
∴∠EDC=∠BED−∠C=40°=∠C,
∴CE=DE.易得△ABD≌△FBD(SAS),
∴AD=FD,∠BFD=∠A=100°,
∴∠DFE=∠BED=80°,
∴ED=FD=AD,
∴CE=AD,
∴BC=BE+CE=BD+AD.

1. 如图，在四边形 $OACB$ 中，$CM\perp OA$ 于点 $M$，$\angle 1=\angle 2$，$\angle 3+\angle 4 = 180^{\circ}$。求证：
(1)$CA = CB$；(2)$OA + OB = 2OM$。

答案：
1.证明:
(1)如图,过点C作CE⊥OB,交OB的延长线于点E.
∵∠1 = ∠2,CM⊥OA,CE⊥OB,
∴CM = CE.又∠3 + ∠4 = 180°,∠4 + ∠CBE = 180°,
∴∠3 = ∠CBE,
∴△ACM≌△BCE (AAS),
∴AM = BE,CA = CB.
(2)
∵OC = OC,CM = CE,
∴Rt△OCM≌Rt△OCE(HL),
∴OM = OE,
∴OA + OB = OM + AM + OE - BE = 2OM.
　　　　

2. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = AD$，$\angle ABC+\angle D = 180^{\circ}$（$\angle ABC＞\angle ADC$），$AE\perp CD$ 于点 $E$，$CE - DE = 1$，求 $BC$ 的长。

答案：
2.解:如图,连接AC,过点A作AF⊥CB,交CB的延长线于点F.
∵∠ABC + ∠D = 180°,∠ABC + ∠ABF = 180°,
∴∠D = ∠ABF.又∠AED = ∠F = 90°,AB = AD,
∴△ABF≌△ADE (AAS),
∴BF = DE,AF = AE.在Rt△ACF和Rt△ACE中,AF = AE,AC = AC,
∴Rt△ACF≌Rt△ACE(HL),
∴CF = CE,
∴BC = CF - BF = CE - DE = 1.