《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

1. 如图，AD 是△ABC 的中线，点 E 在 BC 的延长线上，CE = AB，∠BAC = ∠BCA. 求证：AE = 2AD.

答案：
1.证明:如图,延长AD至点F,使得FD=AD,连接FC.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.又AD=FD,∠ADB=∠FDC,
∴△ABD≌△FCD(SAS),
∴CF=AB=CE,∠B=∠FCD.
∵∠ACE=∠BAC+∠B,∠ACF=∠BCA+∠FCD,∠BAC=∠BCA,
∴∠ACE=∠ACF.又AC=AC,
∴△ACE≌△ACF(SAS),
∴AE=AF=2AD.

2. 如图，AD 是△ABC 的中线，AE⊥AC，AF⊥AB，且 AE = AC，AF = AB. 求证：AD = $\frac{1}{2}$EF.

答案：
2.证明:如图,延长AD至点G,使得GD=AD,连接BG.易证△ACD≌△GBD(SAS),
∴BG=AC=AE,∠C=∠GBD,
∴∠ABG=∠ABC+∠GBD=∠ABC+∠C=180°−∠BAC.
∵AE⊥AC,AF⊥AB,
∴∠FAE=180°−∠BAC,
∴∠ABG=∠FAE.又AB=FA,BG=AE,
∴△ABG≌△FAE(SAS),
∴EF=GA=2AD,
∴AD=$\frac{1}{2}$EF.

3. 如图，在△OAB 和△OCD 中，OA = OB，∠AOB = 90°，OC = OD，∠COD = 90°，连接 BC，AD，E 为 AD 的中点. 求证：BC = 2OE.

答案：
3.证明:如图,延长OE至点F,使得OE=FE,连接DF.
∵E为AD的中点,
∴DE=AE.又∠DEF=∠AEO,FE=OE,
∴△DEF≌△AEO(SAS),
∴OA=FD,∠EAO=∠EDF,
∴OA//DF,
∴∠ODF=180°−∠AOD.又∠AOB=90°,∠COD=90°,
∴∠COB=180°−∠AOD,
∴∠ODF=∠COB.又DF=OA=OB,OD=CO,
∴△ODF≌△COB(SAS),
∴BC=FO=2OE.