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12. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle BAC = 50^{\circ}$，$D$为$BC$边上的中点，$E$是$AB$边上一动点，将$\triangle BDE$沿$DE$翻折至$\triangle FDE$，$EF$的延长线交$AC$于点$G$，连接$DG$.在点$E$运动过程中，$\angle EDG$的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出$\angle EDG$的度数.
答案：
12.解:如图，连接AD.
∵AB=AC,D是BC边上的中点，
∴AD平分∠EAG.由折叠，得ED平分∠GEB,由角的平分线的性质，得GD平分∠EGC,即ED,GD是△AEG两个外角的平分线.
∵∠AEG+∠AGE=180°−∠EAG,
∴∠BEG+∠CGE=360°−180°+∠EAG,
∴∠DEG+∠DGE=$\frac{1}{2}$(∠BEG+∠CGE)=90°+$\frac{1}{2}$∠EAG,
∴∠EDG=180°−(∠DEG+∠DGE)=90°−$\frac{1}{2}$∠EAG=90°−$\frac{1}{2}$×50°=65°,即∠EDG的度数不发生变化,∠EDG的度数为65°.
12.解:如图，连接AD.
∵AB=AC,D是BC边上的中点，
∴AD平分∠EAG.由折叠，得ED平分∠GEB,由角的平分线的性质，得GD平分∠EGC,即ED,GD是△AEG两个外角的平分线.
∵∠AEG+∠AGE=180°−∠EAG,
∴∠BEG+∠CGE=360°−180°+∠EAG,
∴∠DEG+∠DGE=$\frac{1}{2}$(∠BEG+∠CGE)=90°+$\frac{1}{2}$∠EAG,
∴∠EDG=180°−(∠DEG+∠DGE)=90°−$\frac{1}{2}$∠EAG=90°−$\frac{1}{2}$×50°=65°,即∠EDG的度数不发生变化,∠EDG的度数为65°.
1. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B = 60^{\circ}$，$AB = 3$，$BC = 5$，$E$ 是 $BA$ 延长线上一点，点 $D$ 在 $BC$ 边上，且 $ED = EC$，$AE = 4$，则 $BD$ 的长为
2
.
答案：
1.2
2. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，以 $AC$ 为边在其左侧作等边三角形 $ACD$，连接 $BD$.若 $AC = 4$，则 $\triangle BCD$ 的面积为
4
.
答案：
2.4
3. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle A = 120^{\circ}$，$AB$ 的垂直平分线交 $BC$ 于点 $M$，交 $AB$ 于点 $E$，$AC$ 的垂直平分线交 $BC$ 于点 $N$，交 $AC$ 于点 $F$.若 $MN = 2$，则 $NF$ 的长为
1
.
答案：
3.1
4. 如图，$\triangle ABC$ 是等边三角形，$D$ 是 $BC$ 延长线上一点，$DE \perp AB$ 于点 $E$，$EF \perp BC$ 于点 $F$.若 $CD = 3AE$，$CF = 6$，则 $AC$ 的长为
10
.
答案：
4.10
5. 如图，等边三角形 $ABC$ 的边长为 $8$，$D$ 为 $AB$ 上一动点，$DE \perp BC$ 于点 $E$，$EF \perp AC$ 于点 $F$.
(1)若 $AD = 4$，则 $AF$ 的长为
(1)若 $AD = 4$，则 $AF$ 的长为
5
；(2)当 $AD =$ $\frac{8}{3}$
时，$DE = EF$.
答案：
5.
(1)5
(2)$\frac{8}{3}$
(1)5
(2)$\frac{8}{3}$
6. 如图，$\angle AOC = \angle BOC = 10^{\circ}$，$OC = 20$，$M$，$N$ 分别为 $OA$，$OB$ 上一动点，连接 $MN$，$CM$，则 $CM + MN$ 的最小值为 .
答案：
6.10
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