《2025年点拨训练八年级数学上册沪科版安徽专版》

22. 如图①所示的一个三角尺,∠ACB= 90°,AC= BC,过点C的直线l不经过三角形内部,过点A,B分别作AD⊥l,BE⊥l,垂足分别为D,E.
(1) 请你写出图①中一对全等三角形：______.
(2) 请证明你所写结论.
(3) 尝试探究：若AD= a,BE= b. ①图①中四边形ADEB的面积为______(用含a,b的代数式表示)；
②图②中过点C的直线l经过三角形内部,其他不变,则四边形ADBE的面积为______(用含a,b的代数式表示).
(4) 拓展应用：如图③,A(-2,0),C(0,4),则B点坐标为______；点P(不与点B重合)在平面直角坐标系内,若△ABC与△ACP全等,则点P的坐标为______.

答案： （1）△ADC≅△CEB
（2）
解（证明）：
因为AD⊥l，BE⊥l，∠ACB=90∘，所以∠ADC=∠CEB=90∘。
又因为∠DAC+∠DCA=90∘，∠ECB+∠DCA=90∘，所以∠DAC=∠ECB。
在△ADC和△CEB中，⎩⎨⎧​∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECBAC=BC​。
根据AAS（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得△ADC≅△CEB。
（3）
①
因为△ADC≅△CEB，所以AD=CE=a，CD=BE=b。
DE=CD+CE=a+b。
四边形ADEB的面积S=21​(AD+BE)×DE=21​(a+b)(a+b)=21​(a+b)2。
②
因为△ADC≅△CEB，所以AD=CE=a，CD=BE=b。
DE=CE−CD=a−b（a>b）。
四边形ADBE的面积S=21​(AD+BE)×DE=21​(a+b)(a−b)=21​(a2−b2)。
（4）
(−4,6);(−6,2)或(4,2)或(2,−2)
综上，答案依次为：（1）△ADC≅△CEB；（3）①21​(a+b)2；②21​(a2−b2)；（4）(−4,6);(−6,2)或(4,2)或(2,−2)