搜索
19. 如图,点E,F在线段BC上,BF= CE,AB= DC,AE= DF.
(1) 求证：△ABE≌△DCF；
(2) 若∠AEB= 40°,求∠AOF的度数.
(1) 求证：△ABE≌△DCF；
(2) 若∠AEB= 40°,求∠AOF的度数.
答案：
(1)证明:
∵BF=CE,
∴BE=CF.在△ABE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l} BE=CF,\\ AB=DC,\\ AE=DF,\end{array}\right. $
∴△ABE≌△DCF(SSS).
(2)解:
∵△ABE≌△DCF,
∴∠AEB=∠DFC=40°,
∴∠AOF=∠AEB+∠DFC=80°.
(1)证明:
∵BF=CE,
∴BE=CF.在△ABE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l} BE=CF,\\ AB=DC,\\ AE=DF,\end{array}\right. $
∴△ABE≌△DCF(SSS).
(2)解:
∵△ABE≌△DCF,
∴∠AEB=∠DFC=40°,
∴∠AOF=∠AEB+∠DFC=80°.
20. 如图①,点A,B,C,D在同一直线上,AB= CD,作EC⊥AD于点C,FB⊥AD于点B,且AE= DF,连接AF,ED.
(1) 求证：AF//DE且AF= DE.
(2) 若将△BFD沿AD方向平移得到图②,其他条件不变,(1)中的结论是否仍成立？请说明理由.
(1) 求证：AF//DE且AF= DE.
(2) 若将△BFD沿AD方向平移得到图②,其他条件不变,(1)中的结论是否仍成立？请说明理由.
答案：
1. （1）
证明：
因为$EC\perp AD$，$FB\perp AD$，所以$\angle ACE = \angle DBF=90^{\circ}$。
又因为$AB = CD$，所以$AB + BC=CD + BC$，即$AC = DB$。
在$Rt\triangle ACE$和$Rt\triangle DBF$中，$\left\{\begin{array}{l}AE = DF\\AC = DB\end{array}\right.$。
根据$HL$（斜边 - 直角边）定理，$Rt\triangle ACE\cong Rt\triangle DBF$。
所以$\angle EAC=\angle FDB$。
在$\triangle ABF$和$\triangle DCE$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = CD\\\angle ABF=\angle DCE = 90^{\circ}\\\angle BAF=\angle CDE\end{array}\right.$。
根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理，$\triangle ABF\cong\triangle DCE$。
所以$AF = DE$，$\angle AFB=\angle DEC$。
因为$\angle AFB+\angle FAB = 90^{\circ}$，$\angle DEC+\angle EDC = 90^{\circ}$，且$\angle FAB=\angle EDC$，所以$\angle AFD=\angle DEA$。
所以$AF// DE$。
2. （2）
结论仍成立。
理由：
因为$EC\perp AD$，$FB\perp AD$，所以$\angle ACE=\angle DBF = 90^{\circ}$。
又因为$AB = CD$，所以$AC = DB$。
在$Rt\triangle ACE$和$Rt\triangle DBF$中，$\left\{\begin{array}{l}AE = DF\\AC = DB\end{array}\right.$。
根据$HL$定理，$Rt\triangle ACE\cong Rt\triangle DBF$，所以$\angle EAC=\angle FDB$。
因为$AB = CD$，$\angle ABF=\angle DCE = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABF$和$\triangle DCE$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = CD\\\angle BAF=\angle CDE\\\angle ABF=\angle DCE\end{array}\right.$。
根据$ASA$定理，$\triangle ABF\cong\triangle DCE$。
所以$AF = DE$，$\angle AFB=\angle DEC$。
因为$\angle AFB+\angle FAB = 90^{\circ}$，$\angle DEC+\angle EDC = 90^{\circ}$，且$\angle FAB=\angle EDC$，所以$\angle AFD=\angle DEA$。
所以$AF// DE$。
综上，（1）得证$AF// DE$且$AF = DE$；（2）（1）中的结论仍成立。
证明：
因为$EC\perp AD$，$FB\perp AD$，所以$\angle ACE = \angle DBF=90^{\circ}$。
又因为$AB = CD$，所以$AB + BC=CD + BC$，即$AC = DB$。
在$Rt\triangle ACE$和$Rt\triangle DBF$中，$\left\{\begin{array}{l}AE = DF\\AC = DB\end{array}\right.$。
根据$HL$（斜边 - 直角边）定理，$Rt\triangle ACE\cong Rt\triangle DBF$。
所以$\angle EAC=\angle FDB$。
在$\triangle ABF$和$\triangle DCE$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = CD\\\angle ABF=\angle DCE = 90^{\circ}\\\angle BAF=\angle CDE\end{array}\right.$。
根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理，$\triangle ABF\cong\triangle DCE$。
所以$AF = DE$，$\angle AFB=\angle DEC$。
因为$\angle AFB+\angle FAB = 90^{\circ}$，$\angle DEC+\angle EDC = 90^{\circ}$，且$\angle FAB=\angle EDC$，所以$\angle AFD=\angle DEA$。
所以$AF// DE$。
2. （2）
结论仍成立。
理由：
因为$EC\perp AD$，$FB\perp AD$，所以$\angle ACE=\angle DBF = 90^{\circ}$。
又因为$AB = CD$，所以$AC = DB$。
在$Rt\triangle ACE$和$Rt\triangle DBF$中，$\left\{\begin{array}{l}AE = DF\\AC = DB\end{array}\right.$。
根据$HL$定理，$Rt\triangle ACE\cong Rt\triangle DBF$，所以$\angle EAC=\angle FDB$。
因为$AB = CD$，$\angle ABF=\angle DCE = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABF$和$\triangle DCE$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = CD\\\angle BAF=\angle CDE\\\angle ABF=\angle DCE\end{array}\right.$。
根据$ASA$定理，$\triangle ABF\cong\triangle DCE$。
所以$AF = DE$，$\angle AFB=\angle DEC$。
因为$\angle AFB+\angle FAB = 90^{\circ}$，$\angle DEC+\angle EDC = 90^{\circ}$，且$\angle FAB=\angle EDC$，所以$\angle AFD=\angle DEA$。
所以$AF// DE$。
综上，（1）得证$AF// DE$且$AF = DE$；（2）（1）中的结论仍成立。
21. 小红家的阳台上放置了一个落地式晒衣架. 如图是该晒衣架的侧面示意图,B,D两点置于地面上,AC//BD,现将晒衣架完全展开并稳固,经测量有OA= OB. AB,CD的交点O距离地面的高度为48 cm. 若小红的连衣裙挂在衣架AC上,总长度为100 cm,此时连衣裙是否会碰到地面？请通过计算说明理由.
答案：
解：连衣裙会碰到地面。
过点$O$作$OE \perp BD$于点$E$，则$OE = 48\ cm$。
因为$AC // BD$，所以$\angle OAC=\angle OBD$，$\angle OCA=\angle ODB$。
所以$\triangle AOC \backsim \triangle BOD$。
因为$OA = OB$，设$OA = OB = x$，$OC = y$，则$OD=\frac{OB}{OA}\cdot OC = y$（相似比为$1$），即$OC = OD$。
过点$C$作$CF \perp BD$于点$F$，则$OE // CF$。
在$\triangle CDF$中，$\frac{OE}{CF}=\frac{OD}{CD}=\frac{OD}{OC + OD}=\frac{1}{2}$。
所以$CF = 2OE=2×48 = 96\ cm$。
因为$96\ cm＜100\ cm$，所以连衣裙会碰到地面。
过点$O$作$OE \perp BD$于点$E$，则$OE = 48\ cm$。
因为$AC // BD$，所以$\angle OAC=\angle OBD$，$\angle OCA=\angle ODB$。
所以$\triangle AOC \backsim \triangle BOD$。
因为$OA = OB$，设$OA = OB = x$，$OC = y$，则$OD=\frac{OB}{OA}\cdot OC = y$（相似比为$1$），即$OC = OD$。
过点$C$作$CF \perp BD$于点$F$，则$OE // CF$。
在$\triangle CDF$中，$\frac{OE}{CF}=\frac{OD}{CD}=\frac{OD}{OC + OD}=\frac{1}{2}$。
所以$CF = 2OE=2×48 = 96\ cm$。
因为$96\ cm＜100\ cm$，所以连衣裙会碰到地面。
查看更多完整答案，请扫码查看
