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15. 如图,已知点D为BC的中点,∠EDC= ∠FDB,∠B= ∠C. 求证：△BDE≌△CDF.
答案：
证明：
∵点D为BC的中点，
∴BD=CD。
在△BDE和△CDF中，
∠B=∠C（已知），
BD=CD（已证），
∠FDB=∠EDC（已知），
∴△BDE≌△CDF（ASA）。
∵点D为BC的中点，
∴BD=CD。
在△BDE和△CDF中，
∠B=∠C（已知），
BD=CD（已证），
∠FDB=∠EDC（已知），
∴△BDE≌△CDF（ASA）。
16. 阅读下面材料,完成相应填空.
如图,已知AB⊥AC,AD⊥AE,AB= AC,AD= AE.
求证：DB⊥EC.
证明：如图,设BD和CE交于点F.
∵AB⊥AC,AD⊥AE,∴
∴∠BAC+
∠ABC+∠ACB= 90°. ∴∠CAE= ∠BAD.
在△ADB和△AEC中,
∵$\begin{cases}AB= AC, \\ ∠BAD= ∠CAE, \\ AD= AE,\end{cases} $
∴△ADB≌△AEC(
∴∠CBD+∠BCE= ∠ABC+∠ABD+∠BCE= ∠ABC+
∴DB⊥EC.
如图,已知AB⊥AC,AD⊥AE,AB= AC,AD= AE.
求证：DB⊥EC.
证明：如图,设BD和CE交于点F.
∵AB⊥AC,AD⊥AE,∴
∠BAC
= ∠DAE
= 90°,∴∠BAC+
∠BAE
= ∠DAE+∠BAE
,∠ABC+∠ACB= 90°. ∴∠CAE= ∠BAD.
在△ADB和△AEC中,
∵$\begin{cases}AB= AC, \\ ∠BAD= ∠CAE, \\ AD= AE,\end{cases} $
∴△ADB≌△AEC(
SAS
),∴∠ACE= ∠ABD.∴∠CBD+∠BCE= ∠ABC+∠ABD+∠BCE= ∠ABC+
∠ACE
+∠BCE= ∠ABC+∠ACB
= 90°,∴∠BFC
= 90°,∴DB⊥EC.
答案：
∠BAC;∠DAE;∠BAE;∠BAE;SAS;∠ACE;∠ACB;∠BFC
17. 如图,AB= AC,BD= CD,DE⊥AB,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F. 求证：DE= DF.
答案：
证明：连接AD。
在△ABD和△ACD中，
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS）。
∴∠BAD=∠CAD。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在△ABD和△ACD中，
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS）。
∴∠BAD=∠CAD。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
18. 如图,在△ABC中,AB= AC,AB＞BC,点D在边BC上,点E,F在线段AD上,且DF= 2AF,∠1= ∠2= ∠BAC.
(1) 求证：∠ABE= ∠CAF；
(2) 若AD= 12,则BE的长为_________
(1) 求证：∠ABE= ∠CAF；
(2) 若AD= 12,则BE的长为_________
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答案：
(1)证明:
∵∠1=∠BAE+∠ABE,∠1=∠BAC,
∴∠BAC=∠BAE+∠ABE,又
∵∠BAC=∠BAE+∠CAF,
∴∠ABE=∠CAF.
(2) 4
(1)证明:
∵∠1=∠BAE+∠ABE,∠1=∠BAC,
∴∠BAC=∠BAE+∠ABE,又
∵∠BAC=∠BAE+∠CAF,
∴∠ABE=∠CAF.
(2) 4
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