《2025年优佳学案暑假活动七年级合订本》

9. 如图，$O$为直线$AB$上一点，$∠BOC = 60^{\circ}$，$OD$平分$∠BOC$，$OE$平分$∠AOC$.
（1）求$∠BOD$的度数.
（2）请判断$∠DOE$是否为直角，并说明理由.

答案： 【解析】：
（1）已知$OD$平分$\angle BOC$，根据角平分线的定义，角平分线将一个角分成两个相等的角，所以$\angle BOD=\frac{1}{2}\angle BOC$。
又因为$\angle BOC = 60^{\circ}$，将其代入上式可得$\angle BOD=\frac{1}{2}×60^{\circ}=30^{\circ}$。
（2）因为$O$为直线$AB$上一点，所以$\angle AOC+\angle BOC = 180^{\circ}$（平角的定义）。
已知$\angle BOC = 60^{\circ}$，则$\angle AOC=180^{\circ}-\angle BOC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$。
因为$OE$平分$\angle AOC$，根据角平分线定义，$\angle EOC=\frac{1}{2}\angle AOC$，把$\angle AOC = 120^{\circ}$代入可得$\angle EOC=\frac{1}{2}×120^{\circ}=60^{\circ}$。
又因为$\angle DOC=\frac{1}{2}\angle BOC = 30^{\circ}$（$OD$平分$\angle BOC$）。
那么$\angle DOE=\angle EOC+\angle DOC$，将$\angle EOC = 60^{\circ}$，$\angle DOC = 30^{\circ}$代入可得$\angle DOE=60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}$，所以$\angle DOE$是直角。
【答案】：
（1）$30^{\circ}$
（2）$\angle DOE$是直角

10. 如图，$∠A = ∠F$，$∠C = ∠D$.
（1）求证$BD // CE$.
（2）若$∠ABD : ∠DEC = 2 : 3$，求$∠DEC$的度数.

答案： 【解析】：
（1）因为$\angle A=\angle F$，根据内错角相等，两直线平行，所以$AC// DF$。
又因为$AC// DF$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle C=\angle FEC$。
已知$\angle C = \angle D$，所以$\angle D=\angle FEC$，再根据同位角相等，两直线平行，可得$BD// CE$。
（2）因为$BD// CE$，根据两直线平行，同旁内角互补，所以$\angle ABD+\angle DEC = 180^{\circ}$。
已知$\angle ABD:\angle DEC = 2:3$，设$\angle ABD = 2x$，$\angle DEC = 3x$，则$2x + 3x=180^{\circ}$，即$5x = 180^{\circ}$，解得$x = 36^{\circ}$。
所以$\angle DEC=3x = 108^{\circ}$。
【答案】：
（1）证明见上述解析；（2）$108^{\circ}$。