《2025年优佳学案暑假活动七年级合订本》

9. 已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x + 2y = 1,①\\x - 2y = m.②\end{cases}$
（1）若用代入法求解，可由①得$x =$________。③
把③代入②，解得$y =$________。
将其代入③，解得$x =$________。
所以原方程组的解为________。
（2）若此方程组的解$x$，$y$互为相反数，求这个方程组的解及$m$的值。

答案： 【解析】：
（1）对于方程①$x + 2y = 1$，移项可得$x = 1 - 2y$，即③式。
把③$x = 1 - 2y$代入②$x - 2y = m$，得到$1 - 2y - 2y = m$，
合并同类项得$1 - 4y = m$，
移项得$-4y = m - 1$，
系数化为$1$，解得$y=\frac{1 - m}{4}$。
将$y=\frac{1 - m}{4}$代入③$x = 1 - 2y$，则$x = 1 - 2×\frac{1 - m}{4}=1-\frac{1 - m}{2}=\frac{2-(1 - m)}{2}=\frac{2 - 1 + m}{2}=\frac{1 + m}{2}$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=\frac{1 + m}{2}\\y=\frac{1 - m}{4}\end{cases}$。
（2）因为$x$，$y$互为相反数，所以$x + y = 0$，即$x = -y$。
将$x = -y$代入方程组$\begin{cases}x + 2y = 1\\x - 2y = m\end{cases}$，得到$\begin{cases}-y + 2y = 1\\-y - 2y = m\end{cases}$，
对于$-y + 2y = 1$，合并同类项得$y = 1$。
把$y = 1$代入$x = -y$，得$x = -1$。
把$x = -1$，$y = 1$代入$x - 2y = m$，可得$m=-1 - 2×1=-3$。
【答案】：（1）$1 - 2y$；$\frac{1 - m}{4}$；$\frac{1 + m}{2}$；$\begin{cases}x=\frac{1 + m}{2}\\y=\frac{1 - m}{4}\end{cases}$
（2）方程组的解为$\begin{cases}x = -1\\y = 1\end{cases}$，$m$的值为$-3$

10. 如图，在一块长为$10m$，宽为$8m$的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃。求小长方形花圃的长和宽。

答案： 【解析】：设小长方形花圃的长为$x m$，宽为$y m$。
根据图形可得方程组$\begin{cases}2x + y = 10 \\x + 2y = 8 \end{cases}$
由$2x + y = 10$可得$y = 10 - 2x$，将其代入$x + 2y = 8$中，
$x + 2(10 - 2x)=8$
$x + 20 - 4x = 8$
$-3x = 8 - 20$
$-3x = -12$
$x = 4$
把$x = 4$代入$y = 10 - 2x$，$y = 10 - 2×4 = 2$
【答案】：小长方形花圃的长为$4m$，宽为$2m$。