《2025年优佳学案暑假活动七年级合订本》

19. 根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两个数大小的方法.
(1) 若$a-b＞0$，则$a$________$b$.
(2) 若$a-b=0$，则$a$________$b$.
(3) 若$a-b＜0$，则$a$________$b$.
(4) 这种比较大小的方法称为“作差法”，请运用“作差法”解答下面的问题：
比较$4+3a^{2}-2b+b^{2}$与$3a^{2}-2b+1$的大小.

答案： 【解析】：
1. 首先根据等式和不等式的性质来确定$a$与$b$的大小关系：
（1）若$a - b\gt0$，在不等式$a - b\gt0$两边同时加上$b$，根据不等式的基本性质$1$：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，可得$a - b + b\gt0 + b$，即$a\gt b$。
（2）若$a - b = 0$，在等式$a - b = 0$两边同时加上$b$，根据等式的基本性质$1$：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，可得$a - b + b = 0 + b$，即$a = b$。
（3）若$a - b\lt0$，在不等式$a - b\lt0$两边同时加上$b$，根据不等式的基本性质$1$：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，可得$a - b + b\lt0 + b$，即$a\lt b$。
2. 然后运用“作差法”比较$4 + 3a^{2}-2b + b^{2}$与$3a^{2}-2b + 1$的大小：
计算$(4 + 3a^{2}-2b + b^{2})-(3a^{2}-2b + 1)$：
去括号：根据去括号法则，括号前是“$-$”号，把括号和它前面的“$-$”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变，可得$4 + 3a^{2}-2b + b^{2}-3a^{2}+ 2b - 1$。
合并同类项：$3a^{2}-3a^{2}-2b + 2b+b^{2}+4 - 1=b^{2}+3$。
因为任何数的平方都为非负数，即$b^{2}\geqslant0$，所以$b^{2}+3\gt0$。
根据“作差法”，当$(4 + 3a^{2}-2b + b^{2})-(3a^{2}-2b + 1)\gt0$时，可得$4 + 3a^{2}-2b + b^{2}\gt3a^{2}-2b + 1$。
【答案】：（1）$\gt$；（2）$=$；（3）$\lt$；（4）$4 + 3a^{2}-2b + b^{2}\gt3a^{2}-2b + 1$

20. 某公司生产甲、乙两种电子产品共8万件，准备往外销售. 已知2件甲种电子产品与3件乙种电子产品的销售额相同，3件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售额多1500元.
(1) 求甲、乙两种电子产品的销售单价.
(2) 若甲、乙两种电子产品的销售总收入不低于5400万元，则至少需要生产甲种电子产品多少件？

答案： 【解析】：
(1)设甲种电子产品的销售单价为$x$元，乙种电子产品的销售单价为$y$元。
根据“$2$件甲种电子产品与$3$件乙种电子产品的销售额相同”可得$2x = 3y$；
根据“$3$件甲种电子产品比$2$件乙种电子产品的销售额多$1500$元”可得$3x-2y = 1500$。
将$2x = 3y$变形为$x=\frac{3}{2}y$，代入$3x - 2y=1500$中，得到：
$3×\frac{3}{2}y-2y = 1500$
$\frac{9}{2}y-2y = 1500$
$\frac{9y - 4y}{2}=1500$
$\frac{5y}{2}=1500$
$y = 600$
把$y = 600$代入$x=\frac{3}{2}y$，得$x=\frac{3}{2}×600 = 900$。
所以甲种电子产品的销售单价为$900$元，乙种电子产品的销售单价为$600$元。
(2)设生产甲种电子产品$a$万件，则生产乙种电子产品$(8 - a)$万件。
甲种电子产品的销售总收入为$900a$万元，乙种电子产品的销售总收入为$600(8 - a)$万元。
根据“甲、乙两种电子产品的销售总收入不低于$5400$万元”，可列不等式：
$900a+600(8 - a)\geqslant5400$
$900a + 4800-600a\geqslant5400$
$300a\geqslant5400 - 4800$
$300a\geqslant600$
$a\geqslant2$
所以至少需要生产甲种电子产品$2$万件。
【答案】：
(1)甲种电子产品的销售单价为$900$元，乙种电子产品的销售单价为$600$元；
(2)$2$万件