《2025年优佳学案暑假活动七年级合订本》

21. 阅读感悟：
有些关于方程组的问题，不是求每一个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数$x$，$y$满足$\begin{cases}3x - y = 5,①\\2x + 3y = 7.②\end{cases}$求$x - 4y$和$7x + 5y$的值。
本题的常规思路是先解方程组得出$x$，$y$的值，再代入上述代数式并求值，从而得到问题的答案，但常规思路的运算量有时会比较大。其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，由① - ②可得$x - 4y = -2$，由① + ②×2可得$7x + 5y = 19$。这样的解题思想就是“整体思想”。
解答问题：
（1）已知二元一次方程组$\begin{cases}2x + y = 7,①\\x + 2y = 8.②\end{cases}$求$x - y =$________，$x + y =$________。
（2）某班级组织活动购买小奖品，买$20$支铅笔、$3$块橡皮、$2$本日记本共需$32$元，买$39$支铅笔、$5$块橡皮、$3$本日记本共需$58$元。购买$1$支铅笔、$1$块橡皮、$1$本日记本共需多少元？
（3）某社交平台上有这样一幅图片，请你运用所学的数学知识，求出桌子的高度应是________$cm$。

答案： 【解析】：
### $(1)$求$x - y$与$x + y$的值
- 求$x - y$的值：
用方程$①-②$可得：
$(2x + y)-(x + 2y)=7 - 8$
去括号：$2x + y - x - 2y=-1$
合并同类项：$x - y=-1$
- 求$x + y$的值：
将方程$①+②$可得：
$(2x + y)+(x + 2y)=7 + 8$
去括号：$2x + y + x + 2y = 15$
合并同类项：$3x + 3y = 15$
两边同时除以$3$：$x + y = 5$
### $(2)$求购买$1$支铅笔、$1$块橡皮、$1$本日记本的价格
设铅笔每支$x$元，橡皮每块$y$元，日记本每本$z$元。
根据题意可得方程组$\begin{cases}20x + 3y + 2z = 32①\\39x + 5y + 3z = 58②\end{cases}$
$①×2 - ②$得：
$2(20x + 3y + 2z)-(39x + 5y + 3z)=2×32 - 58$
去括号：$40x + 6y + 4z - 39x - 5y - 3z = 64 - 58$
合并同类项：$x + y + z = 6$
### $(3)$求桌子的高度
设桌子高度为$x cm$，站立兔子高度为$y cm$，趴下兔子高度为$z cm$。
根据题意可得方程组$\begin{cases}x + y - z = 150①\\x + z - y = 110②\end{cases}$
$①+②$得：
$(x + y - z)+(x + z - y)=150 + 110$
去括号：$x + y - z + x + z - y = 260$
合并同类项：$2x = 260$
两边同时除以$2$：$x = 130$
【答案】：$(1)-1$；$5$ $(2)6$ $(3)130$