《2025年优佳学案暑假活动七年级合订本》

19. 如图，直线$AB$与$CD$相交于点$O$，$OM \perp AB$.
（1）若$∠1 = ∠2$，求证$ON \perp CD$.
（2）若$∠1 = \frac{1}{2}∠BOD$，求$∠BOC$的度数.

答案： 【解析】：
### $(1)$ 证明$ON\perp CD$
已知$OM\perp AB$，根据垂直的定义可知$\angle AOM = 90^{\circ}$，即$\angle 1+\angle AOC=90^{\circ}$。
又因为$\angle 1 = \angle 2$，将$\angle 1$替换为$\angle 2$，可得$\angle 2+\angle AOC = 90^{\circ}$，也就是$\angle CON=90^{\circ}$。
再根据垂直的定义，所以$ON\perp CD$。
### $(2)$ 求$\angle BOC$的度数
因为$OM\perp AB$，所以$\angle AOM=\angle BOM = 90^{\circ}$。
由于$\angle AOC$与$\angle BOD$是对顶角，根据对顶角相等可知$\angle AOC=\angle BOD$。
已知$\angle 1=\frac{1}{2}\angle BOD$，那么$\angle BOD = 2\angle 1$，且$\angle AOC = 2\angle 1$。
又因为$\angle AOM=\angle 1+\angle AOC = 90^{\circ}$，把$\angle AOC = 2\angle 1$代入可得$\angle 1+2\angle 1=90^{\circ}$，即$3\angle 1 = 90^{\circ}$，解得$\angle 1 = 30^{\circ}$。
所以$\angle BOD = 2×30^{\circ}=60^{\circ}$。
根据邻补角的定义，$\angle BOC+\angle BOD = 180^{\circ}$，则$\angle BOC=180^{\circ}-\angle BOD=180 - 60^{\circ}=120^{\circ}$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析，证得$ON\perp CD$；
$(2)$$\boldsymbol{120^{\circ}}$

20. 如图，在四边形$ABCD$中，$AD // BC$，$∠B = 80^{\circ}$.
（1）求$∠BAD$的度数.
（2）若$AE$平分$∠BAD$，交$BC$于点$E$，$∠BCD = 50^{\circ}$，求证$AE // DC$.

答案： 【解析】：
（1）因为$AD// BC$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$\angle B+\angle BAD = 180^{\circ}$。
已知$\angle B = 80^{\circ}$，则$\angle BAD=180^{\circ}-\angle B = 180^{\circ}-80^{\circ}=100^{\circ}$。
（2）因为$AE$平分$\angle BAD$，由（1）知$\angle BAD = 100^{\circ}$，所以$\angle DAE=\frac{1}{2}\angle BAD=\frac{1}{2}×100^{\circ}=50^{\circ}$。
又因为$AD// BC$，所以$\angle AEB=\angle DAE = 50^{\circ}$（两直线平行，内错角相等）。
已知$\angle BCD = 50^{\circ}$，所以$\angle AEB=\angle BCD$。
根据同位角相等，两直线平行，可得$AE// DC$。
【答案】：
（1）$\boldsymbol{100^{\circ}}$；（2）证明过程如上述解析，证得$\boldsymbol{AE// DC}$。