《2025年优佳学案暑假活动七年级合订本》

21. 问题情境：如图，$AB // CD$，定点$E$，$F$分别在直线$AB$，$CD$上，在平行线$AB$，$CD$之间有一个动点$P$，满足$0^{\circ} ＜ ∠EPF ＜ 180^{\circ}$. 求$∠AEP$，$∠EPF$，$∠PFC$满足的数量关系.
思路点拨：由于$P$是平行线$AB$，$CD$之间一动点，因此需对点$P$的位置进行分类讨论，过点$P$作$AB$的平行线，通过平行线的性质推出$∠AEP$，$∠EPF$，$∠PFC$的数量关系.
（1）问题解答：如图1，当点$P$在点$E$，$F$的左侧时，写出$∠AEP$，$∠EPF$，$∠PFC$满足的数量关系：________；如图2，当点$P$在点$E$，$F$的右侧时，写出$∠AEP$，$∠EPF$，$∠PFC$满足的数量关系：________.
（2）问题迁移：如图3，若$QE$，$QF$分别平分$∠PEB$和$∠PFD$，且点$P$在点$E$，$F$的左侧.
①若$∠EPF = 80^{\circ}$，则$∠EQF$的度数为________.
②猜想$∠EPF$与$∠EQF$的数量关系，并说明理由.
（3）问题拓展：在（2）条件下，如图4，若$∠BEQ$与$∠DFQ$的平分线相交于点$Q_{1}$，$∠BEQ_{1}$与$∠DFQ_{1}$的平分线相交于点$Q_{2}$，$∠BEQ_{2}$与$∠DFQ_{2}$的平分线相交于点$Q_{3}$，…，以此类推，直接写出$∠EPF$与$∠EQ_{2024}F$满足的数量关系.

答案： 【解析】：
### $(1)$求$\angle AEP$，$\angle EPF$，$\angle PFC$满足的数量关系
**图$1$情况：**
过点$P$作$PH// AB$，因为$AB// CD$，所以$PH// CD$。
根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle AEP = \angle EPH$，$\angle PFC = \angle FPH$。
又因为$\angle EPF=\angle EPH+\angle FPH$，所以$\angle EPF=\angle AEP + \angle PFC$。
**图$2$情况：**
过点$P$作$PG// AB$，因为$AB// CD$，所以$PG// CD$。
根据两直线平行，同旁内角互补，可得$\angle AEP+\angle EPG = 180^{\circ}$，$\angle PFC+\angle FPG = 180^{\circ}$。
$\angle AEP+\angle EPG+\angle PFC+\angle FPG=\angle AEP+\angle PFC+\angle EPF = 360^{\circ}$，即$\angle AEP+\angle PFC+\angle EPF = 360^{\circ}$。
### $(2)$问题迁移
**①求$\angle EQF$的度数：**
因为$QE$，$QF$分别平分$\angle PEB$和$\angle PFD$，设$\angle PEQ=\angle BEQ = x$，$\angle PFQ=\angle DFQ = y$。
由$(1)$中图$1$结论$\angle EPF=\angle AEP + \angle PFC$，且$\angle AEP = 180^{\circ}-2x$，$\angle PFC = 180^{\circ}-2y$，$\angle EPF = 80^{\circ}$。
则$80^{\circ}=(180^{\circ}-2x)+(180^{\circ}-2y)$，化简得$x + y = 140^{\circ}$。
又因为$\angle EQF=(180^{\circ}-x)+(180^{\circ}-y)-180^{\circ}=180^{\circ}-(x + y)$，把$x + y = 140^{\circ}$代入，可得$\angle EQF = 140^{\circ}$。
**②猜想$\angle EPF$与$\angle EQF$的数量关系：**
设$\angle PEQ=\angle BEQ = m$，$\angle PFQ=\angle DFQ = n$。
由$(1)$中图$1$结论$\angle EPF=\angle AEP + \angle PFC$，$\angle AEP = 180^{\circ}-2m$，$\angle PFC = 180^{\circ}-2n$，所以$\angle EPF=(180^{\circ}-2m)+(180^{\circ}-2n)=360^{\circ}-2(m + n)$。
而$\angle EQF=(180^{\circ}-m)+(180^{\circ}-n)-180^{\circ}=180^{\circ}-(m + n)$，则$m + n = 180^{\circ}-\angle EQF$。
把$m + n = 180^{\circ}-\angle EQF$代入$\angle EPF=360^{\circ}-2(m + n)$，可得$\angle EPF + 2\angle EQF = 360^{\circ}$。
### $(3)$问题拓展
由$(2)$②可知$\angle EPF + 2\angle EQF = 360^{\circ}$，$\angle EQF = 180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle EPF$。
因为$Q_{1}$平分$\angle BEQ$和$\angle DFQ$，设$\angle BEQ_{1}=x_{1}$，$\angle DFQ_{1}=y_{1}$，则$\angle EQF = 180^{\circ}-(x_{1}+y_{1})$，$\angle EQ_{1}F = 180^{\circ}-\frac{1}{2}(x + y)$（$x=\angle BEQ$，$y = \angle DFQ$），以此类推可得$\angle EQ_{n}F=180^{\circ}-\frac{1}{2^{n + 1}}\angle EPF$。
当$n = 2024$时，$\angle EPF+2^{2025}\angle EQ_{2024}F = 2^{2025}×180^{\circ}$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{\angle EPF=\angle AEP + \angle PFC}$；$\boldsymbol{\angle AEP+\angle PFC+\angle EPF = 360^{\circ}}$
$(2)$①$\boldsymbol{140^{\circ}}$ ②$\boldsymbol{\angle EPF + 2\angle EQF = 360^{\circ}}$
$(3)$$\boldsymbol{\angle EPF+2^{2025}\angle EQ_{2024}F = 2^{2025}×180^{\circ}}$