《2025年优佳学案暑假活动七年级合订本》

21. 在平面直角坐标系中，点 $A(-2a,a - 1)$ 在 x 轴上，将点 A 向右平移 5 个单位长度，再向上平移 $m(m ＞ 2)$ 个单位长度得到点 B. 直线 l 是平行于 x 轴的直线，且直线 l 上所有点的纵坐标都是 1. 点 C 与点 B 关于直线 l 对称.
（1）写出 A，B，C 三个点的坐标：A__________；B__________；C__________.（用含 m 的式子表示）
（2）若 $\triangle ABC$ 的面积是 10，求 m 的值.
（3）若 AC 交 y 轴于点 N，ON 的长度为 1，求 m 的值.

答案： 【解析】：
### $(1)$求$A$，$B$，$C$三个点的坐标
- 因为点$A(-2a,a - 1)$在$x$轴上，所以$a - 1 = 0$，解得$a = 1$。
则$-2a=-2×1 = - 2$，所以$A(-2,0)$。
- 点$A(-2,0)$向右平移$5$个单位长度，根据平移规律“右加左减，上加下减”，横坐标变为$-2 + 5=3$，再向上平移$m(m\gt2)$个单位长度，纵坐标变为$0 + m=m$，所以$B(3,m)$。
- 因为点$C$与点$B(3,m)$关于直线$l$（直线$l$上所有点的纵坐标都是$1$）对称，设$C$点坐标为$(x,y)$，则两点纵坐标的中点为$1$，即$\frac{m + y}{2}=1$，解得$y = 2 - m$，横坐标不变，所以$C(3,2 - m)$。
### $(2)$求$m$的值
已知$A(-2,0)$，$B(3,m)$，$C(3,2 - m)$，$BC$的长度为$\vert m-(2 - m)\vert=\vert2m - 2\vert$，$A$到$BC$的距离（即$BC$边上的高）为$3-(-2)=5$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，$\triangle ABC$的面积$S=\frac{1}{2}×\vert2m - 2\vert×5$。
因为$\triangle ABC$的面积是$10$，所以$\frac{1}{2}×\vert2m - 2\vert×5 = 10$，即$\vert2m - 2\vert = 4$。
当$2m - 2 = 4$时，$2m=6$，解得$m = 3$；
当$2m - 2=-4$时，$2m=-2$，解得$m=-1$（因为$m\gt2$，舍去）。
### $(3)$求$m$的值
设直线$AC$的解析式为$y = kx + b$，把$A(-2,0)$，$C(3,2 - m)$代入可得$\begin{cases}-2k + b = 0\\3k + b = 2 - m\end{cases}$，
用$3k + b = 2 - m$减去$-2k + b = 0$得：$3k + b-(-2k + b)=2 - m-0$，
$5k=2 - m$，解得$k=\frac{2 - m}{5}$，
把$k=\frac{2 - m}{5}$代入$-2k + b = 0$得：$-2×\frac{2 - m}{5}+b = 0$，$b=\frac{4 - 2m}{5}$，所以$y=\frac{2 - m}{5}x+\frac{4 - 2m}{5}$。
因为$ON$的长度为$1$，即当$x = 0$时，$y=\pm1$。
当$y = 1$时，$\frac{2 - m}{5}×0+\frac{4 - 2m}{5}=1$，$4 - 2m = 5$，$-2m = 1$，解得$m=-\frac{1}{2}$（舍去）。
当$y=-1$时，$\frac{2 - m}{5}×0+\frac{4 - 2m}{5}=-1$，$4 - 2m=-5$，$-2m=-9$，解得$m=\frac{9}{2}$。
【答案】：
$(1)$$(-2,0)$；$(3,m)$；$(3,2 - m)$
$(2)$$m = 3$
$(3)$$m=\frac{9}{2}$