《2025年优佳学案暑假活动七年级合订本》

18. 如图，一个动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第 1 次从原点运动到点 $(1,1)$，第 2 次运动到点 $(2,0)$，第 3 次运动到点 $(3,2)$，第 4 次运动到点 $(4,0)$，第 5 次运动到点 $(5,1)$，…，按这样的运动规律，第 2 025 次运动到点 P，则点 P 的坐标是__________.

答案： $(2025,1)$

19. 求下列各式中 x 的值.
（1）$3x^2 = 27$.
（2）$(x + 1)^3 = 64$.

答案： 【解析】：
（1）对于方程$3x^2 = 27$，
首先，方程两边同时除以$3$，得到$x^2=\frac{27}{3}=9$。
然后，根据平方根的定义，若$x^2 = a(a\geq0)$，则$x=\pm\sqrt{a}$，因为$a = 9$，所以$x=\pm\sqrt{9}=\pm3$。
（2）对于方程$(x + 1)^3 = 64$，
根据立方根的定义，若$x^3=a$，则$x=\sqrt[3]{a}$，因为$(x + 1)^3 = 64$，所以$x + 1=\sqrt[3]{64}$。
又因为$4^3=64$，即$\sqrt[3]{64}=4$，那么$x + 1 = 4$。
最后，方程两边同时减去$1$，可得$x=4 - 1=3$。
【答案】：（1）$x=\pm3$；（2）$x = 3$

20. 在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$ 的三个顶点的位置如图所示，其中 A，B，C 三点均在格点处.画出将 $\triangle ABC$ 先向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度后得到的 $\triangle A'B'C'$，其中点 A 与点 $A'$ 对应，点 B 与点 $B'$ 对应，点 C 与点 $C'$ 对应.
（1）直接写出 $\triangle A'B'C'$ 的三个顶点的坐标，并画出 $\triangle A'B'C'$.
（2）求 $\triangle A'B'C'$ 的面积.
（3）求在平移过程中，线段 AC 扫过的图形的面积.

答案： 【解析】：
（1）已知$A(-2,3)$，$B(-3,1)$，$C(1,-2)$。
根据平移规律：点$(x,y)$向右平移$a$个单位长度，横坐标变为$x + a$，纵坐标不变；再向下平移$b$个单位长度，横坐标不变，纵坐标变为$y - b$（这里$a = 3$，$b = 1$）。
则$A'$的坐标为$(-2 + 3,3 - 1)$，即$A'(1,2)$；
$B'$的坐标为$(-3+3,1 - 1)$，即$B'(0,0)$；
$C'$的坐标为$(1 + 3,-2 - 1)$，即$C'(4,-3)$。
然后根据坐标画出$\triangle A'B'C'$。
（2）用割补法求$\triangle A'B'C'$的面积。
以$A'(1,2)$，$B'(0,0)$，$C'(4,-3)$为顶点，构造矩形，矩形的长为$4$，宽为$3$，面积$S_{矩}=4×3 = 12$。
三个直角三角形的面积分别为：
$S_{1}=\frac{1}{2}×1×2 = 1$，$S_{2}=\frac{1}{2}×3×4 = 6$，$S_{3}=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$。
则$S_{\triangle A'B'C'}=12-(1 + 6+\frac{3}{2})=12 - (\frac{2 + 12+3}{2})=12-\frac{17}{2}=\frac{24 - 17}{2}=\frac{7}{2}$。
（3）线段$AC$扫过的图形是平行四边形$ACC'A'$和$ACC'A'$。
平行四边形$ACC'A'$的底$AA' = 3$，高为$3 + 2=5$（$A$纵坐标与$C$纵坐标绝对值之和）；平行四边形$ACC'A'$的底$CC' = 3$，高为$1$。
根据平行四边形面积公式$S = ah$（$a$为底，$h$为高）。
$S = 3×5+3×1=15 + 3=18$。
【答案】：
（1）$A'(1,2)$，$B'(0,0)$，$C'(4,-3)$，图略。
（2）$\frac{7}{2}$。
（3）$18$。