《2025年优佳学案暑假活动七年级合订本》

23. 如图 1，在平面直角坐标系中，$ A(a,0) $，$ C(b,2) $，已知 $ (a + 2)^2 + \sqrt{b - 2} = 0 $，且 $ CB \perp x $ 轴.
（1）求 $ \triangle ABC $ 的面积.
（2）如图 2，若过点 $ B $ 作 $ BD // AC $ 交 $ y $ 轴于点 $ D $，$ AE $ 平分 $ \angle CAB $，$ DE $ 平分 $ \angle ODB $，求 $ \angle AED $ 的度数.
（3）在 $ y $ 轴上是否存在点 $ P $，使得 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle ACP $ 的面积相等？若存在，请求出点 $ P $ 的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： 【解析】：
### $(1)$求$\triangle ABC$的面积
已知$(a + 2)^2+\sqrt{b - 2}=0$。
因为一个数的平方是非负的，即$(a + 2)^2\geq0$；一个数的算术平方根也是非负的，即$\sqrt{b - 2}\geq0$。
要使两个非负的数相加等于$0$，则$(a + 2)^2 = 0$且$\sqrt{b - 2}=0$。
由$(a + 2)^2 = 0$，可得$a+2 = 0$，解得$a=-2$；由$\sqrt{b - 2}=0$，可得$b - 2 = 0$，解得$b = 2$。
因为$CB\perp x$轴，$C(b,2)$，所以$B(2,0)$，$A(-2,0)$，$C(2,2)$。
那么$AB=\vert2-(-2)\vert = 4$，$CB = 2$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，对于$\triangle ABC$，底为$AB$，高为$CB$，则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AB× CB=\frac{1}{2}×4×2 = 4$。
### $(2)$求$\angle AED$的度数
过$E$作$EF// AC$，因为$BD// AC$，所以$EF// BD$。
因为$AC// BD$，所以$\angle CAB+\angle OBD = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补）。
设$\angle CAE=\angle EAB = x$，$\angle ODE=\angle BDE = y$。
因为$AC// EF$，所以$\angle AEF=\angle CAE=x$（两直线平行，内错角相等）。
因为$EF// BD$，所以$\angle DEF=\angle BDE = y$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$AC// BD$，所以$\angle CAB+\angle ABD = 180^{\circ}$，$\angle CAB = 2x$，$\angle ODB = 2y$，$\angle ABD=\angle AOB+\angle ODB$（三角形外角性质），$\angle AOB = 90^{\circ}$。
$\angle CAB+\angle ODB=90^{\circ}$，即$2x + 2y=90^{\circ}$，$x + y = 45^{\circ}$。
而$\angle AED=\angle AEF+\angle DEF=x + y$，所以$\angle AED = 45^{\circ}$。
### $(3)$判断$y$轴上是否存在点$P$使$\triangle ABC$和$\triangle ACP$面积相等
已知$A(-2,0)$，$C(2,2)$，设$P(0,y)$。
$S_{\triangle ABC}=4$，$S_{\triangle ACP}=S_{\triangle AOP}+S_{\text{梯形}OPCB}-S_{\triangle ABC}$（也可根据$S=\frac{1}{2}×底×高$，以$AO$为底的不同表示）。
$S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}×\vert - 2\vert×\vert y - 2\vert$（以$AO$为底，$C$与$P$纵坐标差的绝对值为高）。
因为$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ACP}$，即$\frac{1}{2}×2×\vert y - 2\vert=4$。
当$y-2\geq0$，$y - 2 = 4$，解得$y = 6$；当$y-2\lt0$，$2 - y = 4$，解得$y=-2$。
所以$P(0,6)$或$P(0,-2)$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{4}$；$(2)$$\boldsymbol{45^{\circ}}$；$(3)$存在，$\boldsymbol{P(0,6)}$或$\boldsymbol{P(0,-2)}$