《2025年优佳学案暑假活动七年级合订本》

21. 为了落实“双减”政策，学校组织了各种社团活动，丰富学生的课余生活. 为了解该校全体学生参加该校五个社团的意愿，随机抽取了 40 名学生进行问卷调查，每人只能从中选择一个社团，现绘制成不完整的统计图.
| 社团名称 | A（乒乓球） | B（架子鼓） | C（手工制作） | D（播音主持） | E（舞蹈） |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 人数 | 4 | $ m $ | 16 | $ n $ | 4 |
请你根据以上信息，结合统计图解答下列问题：
（1）$ m = $________；$ p = $________；扇形统计图中扇形 B 的圆心角是________度.
（2）请补全条形统计图.
（3）若该校有 2400 名学生，估计全校有多少名学生愿意参加手工制作社团？

答案： 【解析】：
（1）根据总人数为$40$，结合已知数据可求出$m$的值；根据$D$社团人数求出$p$的值；根据扇形圆心角公式求出扇形$B$的圆心角。
（2）根据$m$、$n$的值补全条形统计图。
（3）用总人数乘以参加手工制作社团的比例即可。
### （1）计算$m$、$p$的值和扇形$B$的圆心角
- **计算$m$的值：**
已知总人数为$40$，$A$社团有$4$人，$C$社团有$16$人，$E$社团有$4$人，所以$B$社团人数$m = 40×30\% = 12$。
- **计算$p$的值：**
$D$社团人数$n = 40 - 4 - 12 - 16 - 4 = 4$，则$p\%=\frac{4}{40}×100\% = 10\%$，即$p = 10$。
- **计算扇形$B$的圆心角：**
扇形统计图中扇形$B$的圆心角是$360^{\circ}×30\% = 108^{\circ}$。
### （2）补全条形统计图
$B$社团人数为$12$，$D$社团人数为$4$，据此补全条形统计图（略）。
### （3）估计全校愿意参加手工制作社团的学生人数
参加手工制作社团的比例为$40\%$，该校有$2400$名学生，所以全校愿意参加手工制作社团的学生人数约为$2400×40\% = 960$（名）。
【答案】：
（1）$12$；$10$；$108$
（3）$960$

22. 小兰计划购买梨膏和梨醋进行销售，已知购买 9 瓶梨膏和 6 瓶梨醋共需 390 元，购买 5 瓶梨膏和 8 瓶梨醋共需 310 元.
（1）求梨膏和梨醋的单价.
（2）若小兰计划购买梨膏和梨醋共 30 瓶，且梨膏的数量至少比梨醋的数量多 5 瓶，同时不超过梨醋数量的 2 倍，当梨醋、梨膏分别购买多少瓶时，总费用最少？求最少总费用.

答案： 【解析】：
（1）设梨膏的单价为$x$元，梨醋的单价为$y$元。
根据购买$9$瓶梨膏和$6$瓶梨醋共需$390$元，购买$5$瓶梨膏和$8$瓶梨醋共需$310$元，可列方程组：
$\begin{cases}9x + 6y = 390\\5x + 8y = 310\end{cases}$
对第一个方程进行化简：$9x + 6y = 390$两边同时除以$3$得$3x + 2y = 130$，进一步变形为$2y = 130 - 3x$，即$y=\frac{130 - 3x}{2}$。
将$y=\frac{130 - 3x}{2}$代入$5x + 8y = 310$中得：
$5x + 8×\frac{130 - 3x}{2}=310$
$5x + 4×(130 - 3x)=310$
$5x + 520 - 12x = 310$
$5x-12x=310 - 520$
$-7x=-210$
$x = 30$
把$x = 30$代入$y=\frac{130 - 3x}{2}$得：$y=\frac{130 - 3×30}{2}=\frac{130 - 90}{2}=\frac{40}{2}=20$。
所以梨膏的单价为$30$元，梨醋的单价为$20$元。
（2）设购买梨醋$m$瓶，则购买梨膏$(30 - m)$瓶。
根据梨膏的数量至少比梨醋的数量多$5$瓶，同时不超过梨醋数量的$2$倍，可得不等式组：
$\begin{cases}30 - m\geqslant m + 5\\30 - m\leqslant2m\end{cases}$
解不等式$30 - m\geqslant m + 5$：
$-m - m\geqslant5 - 30$
$-2m\geqslant - 25$
$m\leqslant12.5$
解不等式$30 - m\leqslant2m$：
$-m - 2m\leqslant - 30$
$-3m\leqslant - 30$
$m\geqslant10$
所以$10\leqslant m\leqslant12.5$，因为$m$为正整数，所以$m = 10$，$11$，$12$。
设总费用为$W$元，$W = 30(30 - m)+20m=900 - 30m + 20m=900 - 10m$。
因为$-10\lt0$，所以$W$随$m$的增大而减小。
所以当$m = 12$时，$W$取得最小值，此时$30 - m = 30 - 12 = 18$，$W_{最小}=900 - 10×12 = 900 - 120 = 780$（元）。
【答案】：（1）梨膏单价为$30$元，梨醋单价为$20$元；（2）购买梨醋$12$瓶，梨膏$18$瓶时总费用最少，最少总费用为$780$元。