《2025年暑假生活江苏人民出版社七年级数学》

23. 如图所示,有三个论断：① $ \angle 1 = \angle 2 $；② $ \angle B = \angle D $；③ $ \angle A = \angle C $,请从中任选两个作为条件,另一个作为结论构成一个命题,并证明该命题的正确性.

答案： 答案不唯一，如：已知 $\angle 1=\angle 2$，$\angle B=\angle D$，求证 $\angle A=\angle C$. 证明：$\because \angle 1=\angle D M C$，$\angle 1=\angle 2$，$\therefore \angle 2=\angle D M C$. $\therefore D E // B F$. $\therefore \angle B=\angle A E D$.$\because \angle B=\angle D$，$\therefore \angle D=\angle A E D$. $\therefore A B // D C$. $\therefore \angle A=\angle C$.

24. 生活中经常会遇到一些不可直接测量的距离或角度,为了测量出这些距离和角度,项目学习小组进行了如下探究：

(1)项目A中,利用图形对称性质：成中心对称的两个图形重合，对应边相等.就可以得到$ AB = CD = 9 \text{ cm} $.
(2)项目B中,利用了物理中的重力原理与数学中的平行线的性质. 如图是简化的测量方案示意图,其中,$ MC // OA $,$ MD // OB $,请你证明：$ \angle CMD = \angle O $.

证明：$\because M C // O A$，$\therefore \angle O=\angle O N M$. 又 $\because M D // O B$，$\therefore \angle C M D=\angle O N M$，$\therefore \angle C M D=\angle O$.

答案：
(1) 成中心对称的两个图形重合，对应边相等；
(2) 证明：$\because M C // O A$，$\therefore \angle O=\angle O N M$. 又 $\because M D // O B$，$\therefore \angle C M D=\angle O N M$，$\therefore \angle C M D=\angle O$.