《2025年暑假生活江苏人民出版社七年级数学》

23. 观察下列等式：
①$3^{2}-1^{2}= 1× 8$；②$5^{2}-3^{2}= 2× 8$；③$7^{2}-5^{2}= 3× 8$；…
根据上述式子的规律,解答下列问题：
(1)第$4$个等式为$9^{2} - 7^{2} = 4× 8$；
(2)写出第$n$个等式,并说明其正确性.
第$n$个等式为$(2n + 1)^{2} - (2n - 1)^{2} = 8n$。证明如下：$(2n + 1)^{2} - (2n - 1)^{2} = (4n^{2} + 4n + 1) - (4n^{2} - 4n + 1) = 4n^{2} + 4n + 1 - 4n^{2} + 4n - 1 = 8n$。

答案：
(1) $9^{2} - 7^{2} = 4× 8$；
(2) 第$n$个等式为$(2n + 1)^{2} - (2n - 1)^{2} = 8n$。答案证明如下：$(2n + 1)^{2} - (2n - 1)^{2} = (4n^{2} + 4n + 1) - (4n^{2} - 4n + 1) = 4n^{2} + 4n + 1 - 4n^{2} + 4n - 1 = 8n$。

24. 如图,长方形$ABCD的面积为S_{1}$,三角形$EFG的面积为S_{2}(m＞2)$.
(1)分别求出$S_{1}与S_{2}$的值(结果用含$m$的代数式表示)；
(2)若一个正方形的边长为$3m+4$,设该正方形的面积为$S_{3}$,试探究：$S_{3}与3(S_{1}+S_{2})$的差是否为定值？若为定值,请求出该值；若不为定值,请说明理由.

答案：
(1) $S_{1} = (2m + 4)(m + 2) = 2m^{2} + 4m + 4m + 8 = 2m^{2} + 8m + 8$；$S_{2} = \frac{1}{2}(2m + 4)(m - 2) = \frac{1}{2}(2m^{2} - 8) = m^{2} - 4$；
(2) $S_{3} = (3m + 4)^{2} = 9m^{2} + 24m + 16$。$\therefore S_{3} - 3(S_{1} + S_{2}) = 9m^{2} + 24m + 16 - 3(2m^{2} + 8m + 8 + m^{2} - 4) = 9m^{2} + 24m + 16 - 3(3m^{2} + 8m + 4) = 9m^{2} + 24m + 16 - 9m^{2} - 24m - 12 = 4$。