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21. (1)已知：$ \overline{abcd} $是一个四位数,$ a + b + c + d $可以被9整除.
求证：$ \overline{abcd} $这个四位数可以被9整除.
(2)已知：m是正整数,且$ m^{2} $是奇数.
求证：m是奇数.
求证：$ \overline{abcd} $这个四位数可以被9整除.
(2)已知：m是正整数,且$ m^{2} $是奇数.
求证：m是奇数.
答案：
(1) 证明：$\because \overline{a b c d}=1000 a+100 b+10 c+d=(a+b+c+d)+(999 a+99 b+9 c)=(a+b+c+d)+9(111 a+11 b+c)$ 又 $\because a+b+c+d$ 可以被 9 整除，$\therefore \overline{a b c d}$ 这个四位数可以被 9 整除.
(2) 证明：假设 $m$ 是偶数，则 $m=2 n$（$n$ 为正整数）.$\therefore m^{2}=(2 n)^{2}=4n^{2}$. 这时可知 $m^{2}$ 为偶数. 这与已知 $m^{2}$ 是奇数相矛盾，$\therefore$ 假设 $m$ 是偶数不成立. $\therefore m$ 是奇数.
(1) 证明：$\because \overline{a b c d}=1000 a+100 b+10 c+d=(a+b+c+d)+(999 a+99 b+9 c)=(a+b+c+d)+9(111 a+11 b+c)$ 又 $\because a+b+c+d$ 可以被 9 整除，$\therefore \overline{a b c d}$ 这个四位数可以被 9 整除.
(2) 证明：假设 $m$ 是偶数，则 $m=2 n$（$n$ 为正整数）.$\therefore m^{2}=(2 n)^{2}=4n^{2}$. 这时可知 $m^{2}$ 为偶数. 这与已知 $m^{2}$ 是奇数相矛盾，$\therefore$ 假设 $m$ 是偶数不成立. $\therefore m$ 是奇数.
22. 如图所示,已知CD平分$ \angle ACB $,$ AC // DE $,$ CD // EF $,求证：EF平分$ \angle DEB $.
答案：
证明：$\because CD$ 平分 $\angle A C B$，$\therefore \angle A C D=\angle D C B$.$\because A C // D E$，$\therefore \angle A C D=\angle C D E$.$\because D C // E F$，$\therefore \angle C D E=\angle D E F$，$\angle D C B=\angle F E B$.$\therefore \angle D E F=\angle F E B$.$\therefore E F$ 平分 $\angle D E B$.
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