《2025年暑假作业内蒙古教育出版社七年级数学》

13. 现有布料 $25$ 米,要裁成大人和小孩的两种服装,已知大人和小孩的两种服装每套分别用布 $2.4$ 米和 $1$ 米,问:各裁多少套恰好能把布料用完? (用二元一次方程来解决这个问题)

答案： 解 设把布料用完时可分别裁大人和小孩的两种服装 $x$ 套、$y$ 套，则 $2.4x + y = 25$.
因为这个方程的解为正整数，
所以 $\left\{\begin{array}{l} x = 5,\\ y = 13\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l} x = 10,\\ y = 1.\end{array}\right.$
答：裁大人服装 5 套，小孩服装 13 套或大人服装 10 套，小孩服装 1 套，恰好能把布料用完.

14. 小红和小虎两人共同解关于 $x,y$ 的方程组 $\begin{cases}ax + 5y = 15,①\\4x - by = -2.②\end{cases} $
小虎:我不小心看错了方程①中的 $a$,得到方程组的解为 $\begin{cases}x = -3,\\y = -1.\end{cases} $
小红:我不小心看错了方程②中的 $b$,得到方程组的解为 $\begin{cases}x = 5,\\y = 4.\end{cases} $
请根据他们的对话内容,求出 $a,b$ 的值,并计算 $a^{2026} + (-\frac{1}{10}b)^{2025}$ 的值。

答案： 解 因为小虎看错了方程①中的 $a$，
所以 $\left\{\begin{array}{l} x = -3,\\ y = -1\end{array}\right.$ 满足方程②，
所以 $4× (-3) - b× (-1) = -2$，
解得 $b = 10$.
因为小红看错了方程②中的 $b$，
所以 $\left\{\begin{array}{l} x = 5,\\ y = 4\end{array}\right.$ 满足方程①，
所以 $5a + 5× 4 = 15$，解得 $a = -1$.
所以 $a^{2026} + \left(-\frac{1}{10}b\right)^{2025} = (-1)^{2026} + \left(-\frac{1}{10}× 10\right)^{2025} = 1 + (-1) = 0$.

《九章算术》中的燕雀问题
《九章算术》中有这样一个题:“今有五雀、六燕,集称之衡,雀俱重,燕俱轻,一雀一燕交而处,衡适平,并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何?”译文:“今有 $5$ 只雀、$6$ 只燕,分别放在一起而且用秤称重,$5$ 只雀的总重量比 $6$ 只燕的总重量要重,若交换 $1$ 只雀、$1$ 只燕,它们重量相等,$5$ 只雀、$6$ 只燕重量为 $1$ 斤.问每 $1$ 只雀、燕各重多少斤?”设每一只雀的重量为 $x$ 斤,每一只燕的重量为 $y$ 斤,你可以列二元一次方程组解决这个问题吗?

答案： $\left\{\begin{array}{l} 4x + y = 5y + x,\\ 5x + 6y = 1.\end{array}\right.$